topologie

#Distance #Sépartation #Symétrie #Inégalité triangulaire #Boule ouverte #Boule fermée (Notation: soit B avec une barre au dessus, soit B avec indice f) #Sphère

#Rappel basique

#Conseils basiques

#Donc notion valable également dans les espaces vectoriels normés #Un sous-espace vectoriel fini est toujours fermé (ce n'est jamais un ouvert), mais en dimension infini ce n'est pas toujours le cas #Cf. Exercice 4.4

#Toutes les normes sont équivalentes donc tous les ouverts pour une distance sont des ouverts pour toutes les autres distances #Ce n'est plus le cas pour l'infini

#Dans l'espace vectoriel normé, on parle d'espace vectoriel alors que dans l'espace métrique, l'ensemble n'est pas forcément l'espace vectoriel (on a agrandi le champ d'application)

#La topologie d'un espace métrique, c'est l'ensemble T des ouverts de X

#Sous-espace métrique #Trace des ouverts

#Trace des fermés

#Traces des ouverts #Trace des fermés #Exercice

#Boules ouvertes

#Montrer qu'une boule n'est pas ouverte

#Toute boule ouverte est un ouvert de E

#Un ensemble est ouvert si quelque soit l'élément à l'intérieur de cet ensemble, on peut l'entourer d'une petite boule aussi petite quelle soit en s'assurant que cette boule est totalement incluse dans cet ensemble là

#Boule ouverte #Intervalle ouvert #x peut être bien être un irrationnel (logique mais utile de rappeler)

F fermé ⇔ E\F ouvert

#Fermé #Définition

#Distance de x à A #Diamètre de A

#Espace métrique #Topologie induite

#Suite extraite #Valeur d'adhérence

#Suite extraite #Valeur d'adhérence #Limites de suites extraites

#E et ∅ sont des ouverts #Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert #Une intersection finie d'ouverts est un ouvert

#E et ∅ sont des fermés #Une réunion finie de fermés est un fermé #Une intersection quelconque de fermés est un fermé

#Singleton fermé #Espace métrique #Dans certains cas, il peut très bien être ouvert (par exemple dans la topologie discrète)

#Topologie discrète #Singleton ouvert/fermé

#Prouver que F est un fermé #Toute suite convergente d'éléments de F a sa limite dans F

#Soit E un K-espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est un fermé

#Intérieur #Adhérence #Frontière #L'adhérence de la boule ouverte b(a,r) est la boule fermée ƀ(a,r) #L'intérieur de la boule fermée ƀ(a,r) est la boule ouverte b(a,r) #La frontière de la boule ouverte b(a,r) est la sphère s(a,r)

#Densité #Dense #Propriété

#Point adhérent et adhérence

#Point frontière et frontière #x est un point frontière de A si tout voisinage de X rencontre à la fois A et le complémentaire de A

#Point frontière et frontière

#Frontière #Propriétés #C\Fr(E)=Fr(E)=Fr(E\C)

#Frontière #Propriétés

#Frontière #Propriétés

#Le complémentaire d'une adhérence est l'intérieur du complémentaire

#Rappel #Lois de Morgan

#Intérieur ⇔ "Le plus grand ouvert contenu dans A" #Notation Å=int(A)

#Tout singleton est d'intérieur vide #Q est d'intérieur vide

#Adhérence ⇔ "Le plus petit fermé contenant A"

#Adhérence #Voisinage #Propriété

#Si O est un ouvert, il appartient automatiquement au voisinage de x

#Explication pour l'adhérence de ]3,4[∩ℚ (pourquoi par exemple π nombre irrationnel "survit" à l'intersection? ) #N'importe quel nombre réel est limite d'une suite de rationnels (par exemple son développement décimal) #Par exemple π est limite de rationnels, donc il est bien dans l'adhérence #Consulter la propriété ci-dessus avec les limites pour comprendre

#Négation de l'adhérence #Très utile

#Adhérence #Intérieur #Propriétés #Pour la distance, un simple schéma rend la notion limpide

#Adhérence #Intérieur

#Adhérence #Propriétés

#L'adhérence de ∅ est égal à lui même (logique: ∅ est fermé donc son adhérence est fermée) #Dans un espace séparé, l'adhérence d'un singleton est bien lui-même, puisqu'il est fermé

#L'adhérence d'un ensemble A est l'intersection des voisinages de Vr(A) et de A

#Union/Intersection #Adhérence #Espace topologique

#Fr(A)=Fr(E\A)

#Frontière #Propriétés #Fr(A)=Fr(E\A)

#Intersection et adhérence #Intersection et intérieur

#Rappel basique mais ultra pratique dans les démonstrations

#Le complémentaire d'un intérieur est l'adhérence du complémentaire

#Normes équivalentes

#Espace topologique #Un espace topologique est un couple (E,T) #Tous les éléments qui appartiennent à T sont ouverts (reste à élucider la nature des éléments de E)

#Distinction entre espace topologique et espace métrique

#Espace topologique #Topologie induite

#Voisinage #Définition

#Voisinage #Propriété #Autrement dit, U est ouvert lorsque, pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U #Si on montre ∀x∈U,∃V∈V(x),V⊂U alors ∀x∈U, U∈V(x) alors U est un ouvert (cf. exercice 7.9)

#Une intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x #Une réunion quelconque de voisinages de x est un voisinage de x, alors qu'une intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x (valable dans les espaces métriques comme dans les espaces topologiques)

#Intérieur #Voisinage #Lien

#Base de voisinages #Espace métrique #Espace topologique

#Base de voisinages #Rayon irrationnel

#Espace séparé #Pour l'espace métrique, la séparation est déjà vérifiée !

#Séparé #Espace de Hausdorff

#Point isolé #Il existe une petite boule autour x dont l'intersection est réduite au singleton {x}

#Partie discrète #Point isolé

#Point isolé #Topologie induite #Avec O un ouvert (dans la définition)

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Topologie discrète #Tout sous-ensemble de X est un ouvert/fermé #Cours

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Montrer qu'un ensemble est fermé #Montrer qu'un ensemble est ouvert #Méthodes

#Montrer qu'un ensemble n'est pas fermé #Montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert #Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide ( Si on démontre que ∀r>0 B(f,r) ⊄X alors X est d'intérieur vide (la preuve qu'il n'y a aucun ouvert inclus dedans)) #Rappel basique pour la méthode de l'intérieur vide (tendre vers x ne signifie absolument pas égal à x) #Méthodes

#Montrer qu'un intérieur est vide #Très bon exemple de la méthode

#Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide #Intérieur vide (cela signifie qu'il ne contient aucun ouvert)

POUR LE 3) #Quel que soit l'élément de A, on peut trouver une boule ouverte incluse dans A #Comme toutes les parties sont ouvertes, par passage au complémentaire on peut prouver que toutes les parties sont aussi fermées

#Topologie discrète #Tout sous-ensemble de X est un ouvert/fermé #Cours

#Logique avec un schéma, int(A∩B) est la plus grande partie ouverte incluse dans A∩B, donc forcément int(A)∩in(B) est forcément inclus dedans

#Archimédien

#Propriété d'Archimède #Propriété de la partie entière

# ℝ est archimédien #Démonstration

# ℝ est archimédien #Démonstration

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ #La densité de ℚ dans ℝ signifie simplement que dans n'importe quel intervalle non vide de ℝ et ne comportant pas un seul élement (donc au moins deux éléments), on peut trouver un rationnel (donc appartenant à ℚ)

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ

#Norme #Définition

#Norme #Propriétés

#Homogénéité #Inégalité triangulaire

#Boule ouverte #Boule fermée #Sphère

#Boule unité #Sphère unité #Norme 1 #Norme 2 #Norme infinie

#Norme produit

#Espace préhilbertien #Produit scalaire #Norme 1 #Norme 2=Norme euclidienne (la notation de cette norme peut être dispensée du petit 2 en bas à droite) #Norme infinie

#Norme p

#Produit scalaire #Commutativité #Associativité #Distributivité

#Produit scalaire

#Rappel #Dimension 2

#Rappel #Dimension 3

#Fonction continue #Norme 1 #Norme 2 #Norme infinie

#Normes équivalentes

#Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

#Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

#Inégalité de Cauchy-Schwarz

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Norme euclidienne

Source : Gilles Bailly-Maitre (Chaîne Youtube)