topologie

#Topologie #Définition #1) L'ensemble vide et X sont éléments de O 2) La réunion d'une famille quelconque d'éléments de O est encore un élément de O 3) L'intersection d'une famille finie d'éléments de O est encore un élément de O

#Distance #Sépartation #Symétrie #Inégalité triangulaire #Boule ouverte #Boule fermée (Notation: soit B avec une barre au dessus, soit B avec indice f) #Sphère

#Rappel basique

#Conseils basiques

#Donc notion valable également dans les espaces vectoriels normés #Un sous-espace vectoriel fini est toujours fermé (ce n'est jamais un ouvert), mais en dimension infini ce n'est pas toujours le cas #Cf. Exercice 4.4

# Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (ce n'est pas le cas pour la dimension infinie) #Toutes les normes sont équivalentes donc tous les ouverts pour une distance sont des ouverts pour toutes les autres distances

#Dans l'espace vectoriel normé, on parle d'espace vectoriel alors que dans l'espace métrique, l'ensemble n'est pas forcément l'espace vectoriel (on a agrandi le champ d'application)

#La topologie d'un espace métrique, c'est l'ensemble T des ouverts de X

#Sous-espace métrique #Trace des ouverts

#Trace des fermés

#Traces des ouverts #Trace des fermés #Exercice

#Boules ouvertes #Les boules et les sphères unités sont de centre 0 et de rayon 1

#Montrer qu'une boule n'est pas ouverte

#Toute boule ouverte est un ouvert de E

#Un ensemble est ouvert si quelque soit l'élément à l'intérieur de cet ensemble, on peut l'entourer d'une petite boule aussi petite quelle soit en s'assurant que cette boule est totalement incluse dans cet ensemble là

#Boule ouverte #Intervalle ouvert #x peut être bien être un irrationnel (logique mais utile de rappeler)

F fermé ⇔ E\F ouvert

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Fermé #Définition

#Distance de x à A #Diamètre de A

#Espace métrique #Topologie induite

#Suite extraite #Valeur d'adhérence

#Suite extraite #Valeur d'adhérence #Limites de suites extraites

#E et ∅ sont des ouverts #Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert #Une intersection finie d'ouverts est un ouvert

#E et ∅ sont des fermés #Une réunion finie de fermés est un fermé #Une intersection quelconque de fermés est un fermé

#Singleton fermé #Espace métrique #Dans certains cas, il peut très bien être ouvert (par exemple dans la topologie discrète)

#Topologie discrète #Singleton ouvert/fermé

#Prouver que F est un fermé ou qu'il n'est pas fermé (utilisation d'un contre-exemple) #Toute suite convergente d'éléments de F a sa limite dans F

#Il faut que la limite appartienne à l'ensemble et dans les deux sens #Important

#Soit E un K-espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est un fermé #En topologie c'est soit K ⊂ ℝ ou soit K ⊂ ℂ (pas les deux en même temps)

#Intérieur #Adhérence #Frontière #L'adhérence de la boule ouverte b(a,r) est la boule fermée ƀ(a,r) #L'intérieur de la boule fermée ƀ(a,r) est la boule ouverte b(a,r) #La frontière de la boule ouverte b(a,r) est la sphère s(a,r)

#Densité #Dense #Propriété

#Densité #Propriété #Pour tout ouvert NON VIDE (important)

#Densité

#Densité #Propriété

#Densité #ℚ dense dans ℝ #ℝ\ℚ dense dans ℝ

# ℝ\ℚ et ℚ ne sont ni ouverts, ni fermés dans les topologies usuelles #Dense donc aucun fermé

# ℝ\ℚ et ℚ ne sont ni ouverts, ni fermés dans les topologies usuelles

# ℝ\ℚ et ℚ ne sont ni ouverts, ni fermés dans les topologies usuelles

#Point adhérent et adhérence

#Point frontière et frontière #x est un point frontière de A si tout voisinage de X rencontre à la fois A et le complémentaire de A

#Point frontière et frontière

#Frontière #Propriétés #C\Fr(E)=Fr(E)=Fr(E\C)

#Frontière #Propriétés

#Frontière #Propriétés

#Le complémentaire d'une adhérence est l'intérieur du complémentaire

#Rappel #Lois de Morgan

#Intérieur ⇔ "Le plus grand ouvert contenu dans A" #Notation Å=int(A)

#Tout singleton est d'intérieur vide #Q est d'intérieur vide

#Adhérence ⇔ "Le plus petit fermé contenant A"

#Adhérence #Voisinage #Propriété

#Si O est un ouvert, il appartient automatiquement au voisinage de x

#Explication pour l'adhérence de ]3,4[∩ℚ (pourquoi par exemple π nombre irrationnel "survit" à l'intersection? ) #N'importe quel nombre réel est limite d'une suite de rationnels (par exemple son développement décimal) #Par exemple π est limite de rationnels, donc il est bien dans l'adhérence #Consulter la propriété ci-dessus avec les limites pour comprendre

#Négation de l'adhérence #Très utile

#Adhérence #Intérieur #Propriétés #Pour la distance, un simple schéma rend la notion limpide

#Adhérence #Intérieur

#Adhérence #Propriétés

#L'adhérence de ∅ est égal à lui même (logique: ∅ est fermé donc son adhérence est fermée) #Dans un espace séparé, l'adhérence d'un singleton est bien lui-même, puisqu'il est fermé

#L'adhérence d'un ensemble A est l'intersection des voisinages de Vr(A) et de A

#Union/Intersection #Adhérence #Espace topologique

#Fr(A)=Fr(E\A)

#Frontière #Propriétés #Fr(A)=Fr(E\A)

#Intersection et adhérence #Intersection et intérieur

#Rappel basique mais ultra pratique dans les démonstrations

#Le complémentaire d'un intérieur est l'adhérence du complémentaire

#Point d'accumulation #Un ensemble est fermé ⇔ il contient tous ses points d'accumulation #Si on trouve un seul point d'accumulation qui n'appartient pas à l'ensemble, alors ce dernier n'est pas fermé (Exemple: on peut trouver aisément une suite qui appartient à ℝ\ℚ mais qui tend vers 0∈ℚ, et pourtant c'est un point d'accumulation mais il n'est pas inclus dans ℝ\ℚ, ainsi on prouve que ℝ\ℚ n'est pas fermé).

#En particulier, l'ensemble des points d'accumulation de A est un fermé qu'on appelle ensemble dérivé de A . On le note A'. #2 conditions donc, doivent être vérifiées: l'adhérence à A et le fait qu'il ne soit pas isolé dans A

#On dit que le point x est un point d'accumulation de A s'il est adhérent à A sans être isolé dans A #On appelle aussi le point d'accumulation, le point limite

#f est continue #L'image réciproque d'un ouvert de F par f est un ouvert de E #L'image réciproque d'un fermé de F par f est un fermé de E

#f est continue #Voisinage #Image réciproque

#f est continue #Voisinage #Image réciproque

#L'image réciproque d'un ouvert de F par f est un ouvert de E

#L'image réciproque d'un fermé de F par f est un fermé de E

#Applications lipschitziennes #Applications k-lipschitziennes #D'ailleurs pour prouver qu'une application est continue,, on peut montrer qu'elle est lipschitzienne

#Applications lipschitziennes

#Normes équivalentes #Si N1 et N2 sont deux normes équivalentes sur E, une suite est convergente (resp. bornée) dans (E,N1) si et seulement si elle est convergente (resp. bornée) dans (E,N2)

#Continuité des applications linéaires

#Norme subordonnée

#Norme subordonnée

#Norme d'algèbre

#Espace topologique #Un espace topologique est un couple (E,T) #Tous les éléments qui appartiennent à T sont ouverts (reste à élucider la nature des éléments de E)

#Distinction entre espace topologique et espace métrique

#Espace topologique #Topologie induite

#Topologie induite #Trace

#Voisinage #Définition

#Voisinage #Propriété #Autrement dit, U est ouvert lorsque, pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U #Si on montre ∀x∈U,∃V∈V(x),V⊂U alors ∀x∈U, U∈V(x) alors U est un ouvert (cf. exercice 7.9)

#Une intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x #Une réunion quelconque de voisinages de x est un voisinage de x, alors qu'une intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x (valable dans les espaces métriques comme dans les espaces topologiques)

#Intérieur #Voisinage #Lien

#Base de voisinages #Espace métrique #Espace topologique

#Base de voisinages #Rayon irrationnel

#Espace séparé #Pour l'espace métrique, et pour l'espace vectoriel normé, la séparation est déjà vérifiée ! #Si E est un espace vectoriel topologique séparé, et si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E, alors F est toujours fermé #Dans un espace topologique, cela reste à vérifier #La plupart des espaces topologiques sont séparés, par exemple tous les espaces métriques. Un espace topologique muni de la topologie discrète est également séparé puisque chaque singleton constitue un voisinage de son élément. Cependant, un espace topologique muni de la topologie grossière ne l'est pas

#Séparé #Il existe un voisinage U de x et un voisinage V de y dont l'intersection est vide #Espace de Hausdorff

#Point isolé #Il existe une petite boule autour x dont l'intersection est réduite au singleton {x}

#Partie discrète #Point isolé #Un ensemble est discret s'il n'est constitué que de points isolés

#Point isolé #Topologie induite #Avec O un ouvert (dans la définition)

#Point isolé #Soit P(E)⊂E, il suffit simplement de réaliser une intersection entre la partie de E et un ouvert de E (que l'on cherche) afin de trouver un singleton. Si on le trouve, le singleton est ouvert et est donc séparé. Si on ne le trouve pas, le singleton n'est pas ouvert et est donc non séparé (les trois exemples proposés sont très utiles pour bien comprendre ce concept).

#Topologies usuelles: espaces métriques, espaces vectoriels normés (O est l'ensemble de la réunion de plusieurs ouverts de ℝ (rappelons qu'une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert)) #Autres topologies: topologie grossière (seulement 2 ouverts: O={∅,X}, topologie discrète (tous ouverts: O=P(X))

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Topologie discrète #La topologie discrète est la topologie possédant le plus d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensemble X, en d'autres termes la topologie la plus fine possible. En ce sens, c'est l'opposé de la topologie grossière #Un espace est discret si et seulement touts toutes ses parties sont des ouverts-fermés

#Topologie grossière #Cette topologie est la moins fine de toutes les topologies

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Topologie plus fine/moins fine #T plus fine que U signifie que T contient plus d'ouverts que U #Si T=U ⇔ U est plus fine que T et T est plus fine que U

#Montrer qu'un ensemble est fermé #Autre méthode: un ensemble est fermé ⇔ il contient tous ses points d'accumulation #Montrer qu'un ensemble est ouvert #Méthodes

#Montrer qu'un ensemble n'est pas fermé #Autre méthode: si on trouve un seul point d'accumulation qui n'appartient pas à l'ensemble, alors A n'est pas fermé #Montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert #Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide ( Si on démontre que ∀r>0 B(f,r) ⊄X alors X est d'intérieur vide (la preuve qu'il n'y a aucun ouvert inclus dedans)) #Rappel basique pour la méthode de l'intérieur vide (tendre vers x ne signifie absolument pas égal à x) #Méthodes

#Montrer qu'un intérieur est vide #Très bon exemple de la méthode

#Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide #Intérieur vide (cela signifie qu'il ne contient aucun ouvert)

#Homéomorphisme #Propriété

Homéomorphisme #Propriété

Homéomorphisme #Propriété

#Parties homéomorphes

#Connexité #Connexe #E ne s'écrit pas comme réunion disjointe de deux ouverts non vides # E ne s'écrit pas comme réunion disjointe de deux fermés non vides #Tout ensemble muni de la topologie grossière est connexe #Un singleton est toujours connexe #L'adhérence d'une partie connexe est une partie connexe

#Parties connexes #Montrer que l'ensemble n'est pas connexe

#Montrer que l'ensemble n'est pas connexe

#ℕ est non-connexe #ℝ est connexe #ℝ* est non-connexe #ℂ* est connexe #Pour ℝ*, si 'l'on trace une droite graduée, il manque forcément un morceau contrairement à ℂ* où l'on peut trouver un chemin continu sans passer par zéro (connexe par arcs donc connexe)

#A connexe ⇒ f(A) connexe si f est continue

#Théorème du graphe ferme #Un graphe est connexe si et seulement s'il admet une unique composante connexe

#Composantes connexes #Définition

#B est connexe si et seulement s'il n'a qu'une seule composante connexe

#Composantes connexes #Compacité

#Trou #Composante connexe bornée #La première propriété s'applique uniquement dans les espaces de dimensions finies (cf. Exercice 14.9)

#Connexité par arcs #Connexe par arcs #Existence d'un chemin continu #p(0) est l'origine de l'arc et p(1) son extrémité

#Connexité par arcs #Connexe par arcs #Existence d'un chemin continu

#Si A est connexe par arcs alors A est connexe #Un K-espace vectoriel normé est toujours connexe

#Groupe linéaire #Groupe spécial linéaire #Connexité

#Si A est une partie connexe de E alors son adhérence A est connexe car plus généralement, toute partie B de E telle que A ⊂ B ⊂ Ā est connexe

#Rappel sur les ensembles convexes #Un espace vectoriel normé est convexe donc connexe par arcs donc connexe

#Rappel sur les ensembles convexes #Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est convexe #Toute boule (ouverte ou fermée) d'un espace vectoriel normé est convexe #Les parties convexes de ℝ sont des intervalles

#Ensemble étoilé #Un ouvert étoilé est un ouvert tel que l'on ait un point où on pourra accéder à tous les autres points en ligne droite sans sortir de l'ensemble #ℝ² ou ℝ³ sont par exemple, des ouverts étoilés

#Ensemble convexe/ensemble étoilé ⇒ Connexe par arcs ⇒ Connexe #Normé subordonnée ⇒ Norme d'algèbre

#Composantes connexes #Propriété

#On prend la réunion de tous les connexes de A (partie jaune, partie rose, partie bleue etc) qui contiennent x et on appelle cela la composante connexe de x

#Exemple d'un espace métrique (E,d) connnexe dont la boule ouverte de E n'est pas connexe #3 composantes connexes

#Localement connexe

#Rappel #Sous-suite #Une suite et ses sous-suites ont la même limite

#Sous-suite #Infinité de termes possibles

#Suites extraites #Théorème de Bolzano-Weierstrass

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Théorème de Bolzano-Weierstrass #Toute suite réelle bornée admet au moins une valeur d'adhérence

#Théorème de Bolzano-Weierstrass

#Compacité #Théorème de Bolzano-Weierstrass

#Compact #Propriété #Au moins une valeur d'adhérence #Théorème de Heine-Borel-Lebesgue #Quand on dit par exemple "un compact de ℝ", ce sont les fermés bornés de ℝ tout simplement

#E est compact si et seulement si toute sous-suite de E admet une sous-suite convergente

#Compacité #Propriétés

#Soit E un espace métrique compact #Si une suite d'éléments de E ne possède qu'une seule valeur d'adhérence, alors elle converge

#Rappel: une suite convergente est bornée (mais cela n'est pas réciproque)

#Propriété de Borel-Lebesgue

#Théorème de Heine #Si E est compact et f est continue alors f est uniformément continue

#Démontrer qu'un ensemble est compact #Démontrer qu'un ensemble n'est pas compact #Il suffit de trouver une suite de l'ensemble qui n'admet pas de suite convergente dans cet ensemble, et on prouve que l'ensemble n'est pas compact (cf. exemple Exercice 14.5 7))

#Démontrer qu'une partie est connexe par arcs

#Démontrer qu'une partie d'un espace vectoriel, ou qu'une partie d'un espace métrique est borné (avec la boule unité pour les E.V.N) #Utile pour prouver en partie la compacité #Une partie peut être bornée pour une norme sans pour l'être pour autant pour l'autre !

#Suites bornées et normes équivalentes

#Les ℝ espaces vectoriels ne sont pas bornés

#Tout fermé dans un compact est un compact

#Image d'un compact

#Espace topologique séparé et continuité

#Théorème de Riesz #E est de dimension finie ⇔ sa boule fermée unité est compacte

#La boule unité et la sphère unité ne sont pas compactes en dimension infinie

#Récapitulatif des espaces

#Ensemble des symboles #Topologie #Exemple: C([0,1],ℝ) désigne l'ensemble des fonctions continues sur [a,b] à valeurs dans ℝ (autrement dit de manière triviale: l'antécédent appartient à [a,b] et l'image appartient à ℝ)

#Ensemble des symboles #Topologie

#Ensemble des symboles #Topologie #Espaces particuliers

#Compacité #Recouvrement #Sous-recouvrement fini #Borel-Lebesgue

#Compacité #Théorème de Borel-Lebesgue

#Compacité Tout ensemble fini est compact #Tout espace métrique fini est compact (forcément, quand on a un nombre fini d'éléments, on a un plus grand et un plus petit élément (cf. propriété sur l'ensemble des parties))

#Compacité #Rappel basique

#La topologie produit est la topologie la moins fine

#Topologie produit #Distance produit

#Théorème de Baire

POUR LE 3) #Quel que soit l'élément de A, on peut trouver une boule ouverte incluse dans A #Comme toutes les parties sont ouvertes, par passage au complémentaire on peut prouver que toutes les parties sont aussi fermées

#Topologie discrète #Tout sous-ensemble de X est un ouvert/fermé #Cours

#Logique avec un schéma, int(A∩B) est la plus grande partie ouverte incluse dans A∩B, donc forcément int(A)∩in(B) est forcément inclus dedans

#Archimédien

#Propriété d'Archimède #Propriété de la partie entière

# ℝ est archimédien #Démonstration

# ℝ est archimédien #Démonstration

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ #La densité de ℚ dans ℝ signifie simplement que dans n'importe quel intervalle non vide de ℝ et ne comportant pas un seul élement (donc au moins deux éléments), on peut trouver un rationnel (donc appartenant à ℚ)

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ

#Norme #Définition

#Norme #Propriétés

#Homogénéité #Inégalité triangulaire #Si x≠0e, x/||x|| est de norme 1, il est dit unitaire.

#Boule ouverte #Boule fermée #Sphère

#Boule unité #Sphère unité #Norme 1 #Norme 2 #Norme infinie

#Norme produit

#Espace préhilbertien #Produit scalaire #Norme 1 #Norme 2=Norme euclidienne (la notation de cette norme peut être dispensée du petit 2 en bas à droite) #Norme infinie

#Norme p

#Produit scalaire #Commutativité #Associativité #Distributivité

#Produit scalaire

#Rappel #Dimension 2

#Rappel #Dimension 3

#Fonction continue #Norme 1 #Norme 2 #Norme infinie

#Normes équivalentes

#Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

#Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

#Inégalité de Cauchy-Schwarz

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Norme euclidienne