#Distance #Sépartation #Symétrie #Inégalité triangulaire #Boule ouverte #Boule fermée (Notation: soit B avec une barre au dessus, soit B avec indice f) #Sphère
#Donc notion valable également dans les espaces vectoriels normés #Un sous-espace vectoriel fini est toujours fermé (ce n'est jamais un ouvert), mais en dimension infini ce n'est pas toujours le cas #Cf. Exercice 4.4
#Toutes les normes sont équivalentes donc tous les ouverts pour une distance sont des ouverts pour toutes les autres distances #Ce n'est plus le cas pour l'infini
#Dans l'espace vectoriel normé, on parle d'espace vectoriel alors que dans l'espace métrique, l'ensemble n'est pas forcément l'espace vectoriel (on a agrandi le champ d'application)
#Un ensemble est ouvert si quelque soit l'élément à l'intérieur de cet ensemble, on peut l'entourer d'une petite boule aussi petite quelle soit en s'assurant que cette boule est totalement incluse dans cet ensemble là
#Boule ouverte #Intervalle ouvert #x peut être bien être un irrationnel (logique mais utile de rappeler)
#E et ∅ sont des ouverts #Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert #Une intersection finie d'ouverts est un ouvert
#E et ∅ sont des fermés #Une réunion finie de fermés est un fermé #Une intersection quelconque de fermés est un fermé
#Singleton fermé #Espace métrique #Dans certains cas, il peut très bien être ouvert (par exemple dans la topologie discrète)
#Prouver que F est un fermé ou qu'il n'est pas fermé (utilisation d'un contre-exemple) #Toute suite convergente d'éléments de F a sa limite dans F
#Soit E un K-espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est un fermé #En topologie c'est soit K ⊂ ℝ ou soit K ⊂ ℂ (pas les deux en même temps)
#Intérieur #Adhérence #Frontière #L'adhérence de la boule ouverte b(a,r) est la boule fermée ƀ(a,r) #L'intérieur de la boule fermée ƀ(a,r) est la boule ouverte b(a,r) #La frontière de la boule ouverte b(a,r) est la sphère s(a,r)
#Densité #ℚ dense dans ℝ #ℝ\ℚ dense dans ℝ #Démonstration #Source : Øljen - Les maths en finesse
#Point frontière et frontière #x est un point frontière de A si tout voisinage de X rencontre à la fois A et le complémentaire de A
#Explication pour l'adhérence de ]3,4[∩ℚ (pourquoi par exemple π nombre irrationnel "survit" à l'intersection? ) #N'importe quel nombre réel est limite d'une suite de rationnels (par exemple son développement décimal) #Par exemple π est limite de rationnels, donc il est bien dans l'adhérence #Consulter la propriété ci-dessus avec les limites pour comprendre
#L'adhérence de ∅ est égal à lui même (logique: ∅ est fermé donc son adhérence est fermée) #Dans un espace séparé, l'adhérence d'un singleton est bien lui-même, puisqu'il est fermé
#f est continue #L'image réciproque d'un ouvert de F par f est un ouvert de E #L'image réciproque d'un fermé de F par f est un fermé de E
#Applications lipschitziennes #Applications k-lipschitziennes #D'ailleurs pour prouver qu'une application est continue,, on peut montrer qu'elle est lipschitzienne
#Espace topologique #Un espace topologique est un couple (E,T) #Tous les éléments qui appartiennent à T sont ouverts (reste à élucider la nature des éléments de E)
#Voisinage #Propriété #Autrement dit, U est ouvert lorsque, pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U #Si on montre ∀x∈U,∃V∈V(x),V⊂U alors ∀x∈U, U∈V(x) alors U est un ouvert (cf. exercice 7.9)
#Une intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x #Une réunion quelconque de voisinages de x est un voisinage de x, alors qu'une intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x (valable dans les espaces métriques comme dans les espaces topologiques)
#Partie discrète #Point isolé #Un ensemble est est discret s'il n'est constitué que de points isolés
POST BAC - Topologie - Espaces métriques - Exercices - Cours particuliers de maths à Lille
POUR LE 3) #Quel que soit l'élément de A, on peut trouver une boule ouverte incluse dans A #Comme toutes les parties sont ouvertes, par passage au complémentaire on peut prouver que toutes les ...
#Topologie discrète #Tout sous-ensemble de X est un ouvert/fermé #Exercice
#Topologie plus fine/moins fine #T plus fine que U signifie que T contient plus d'ouverts que U #Si T=U ⇔ U est plus fine que T et T est plus fine que U
#Montrer qu'un ensemble n'est pas fermé #Montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert #Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide ( Si on démontre que ∀r>0 B(f,r) ⊄X alors X est d'intérieur vide (la preuve qu'il n'y a aucun ouvert inclus dedans)) #Rappel basique pour la méthode de l'intérieur vide (tendre vers x ne signifie absolument pas égal à x) #Méthodes
#Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide #Intérieur vide (cela signifie qu'il ne contient aucun ouvert)
#ℕ est non-connexe #ℝ est connexe #ℝ* est non-connexe #ℂ* est connexe #Pour ℝ*, si 'l'on trace une droite graduée, il manque forcément un morceau contrairement à ℂ* où l'on peut trouver un chemin continu sans passer par zéro (connexe par arcs donc connexe)
#Théorème du graphe ferme #Un graphe est connexe si et seulement s'il admet une unique composante connexe
#Connexité par arcs #Connexe par arcs #Existence d'un chemin continu #p(0) est l'origine de l'arc et p(1) son extrémité
#Si A est une partie connexe de E alors son adhérence A est connexe car plus généralement, toute partie B de E telle que A ⊂ B ⊂ Ā est connexe
#Rappel sur les ensembles convexes #Un espace vectoriel normé est convexe donc connexe par arcs donc connexe
#Rappel sur les ensembles convexes #Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est convexe #Toute boule (ouverte ou fermée) d'un espace vectoriel normé est convexe #Les parties convexes de ℝ sont des intervalles
#Ensemble étoilé #Un ouvert étoilé est un ouvert tel que l'on ait un point où on pourra accéder à tous les autres points en ligne droite sans sortir de l'ensemble #ℝ² ou ℝ³ sont par exemple, des ouverts étoilés
#On prend la réunion de tous les connexes de A (partie jaune, partie rose, partie bleue etc) qui contiennent x et on appelle cela la composante connexe de x
#Exemple d'un espace métrique (E,d) connnexe dont la boule ouverte de E n'est pas connexe #3 composantes connexes
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