Cours particuliers de maths à Lille

Cours particuliers de maths à Lille

Présent sur Lille , La Madeleine , Marcq en Baroeul , Mons en Baroeul , Wasquehal , Croix , Roubaix , Lambersart , Villeneuve d'Ascq , Lomme , Loos etc..

Publié le par François Montagne
Publié dans : #Mathématiques, #Topologie, #Post-Bac ( Prépa)
#Distance #Sépartation #Symétrie #Inégalité triangulaire #Boule ouverte #Boule fermée (Notation: soit B avec une barre au dessus, soit B avec indice f) #Sphère

#Distance #Sépartation #Symétrie #Inégalité triangulaire #Boule ouverte #Boule fermée (Notation: soit B avec une barre au dessus, soit B avec indice f) #Sphère

#Rappel basique

#Rappel basique

#Conseils basiques

#Conseils basiques

#Donc notion valable également dans les espaces vectoriels normés #Un sous-espace vectoriel fini est toujours fermé (ce n'est jamais un ouvert), mais en dimension infini ce n'est pas toujours le cas #Cf. Exercice 4.4

#Donc notion valable également dans les espaces vectoriels normés #Un sous-espace vectoriel fini est toujours fermé (ce n'est jamais un ouvert), mais en dimension infini ce n'est pas toujours le cas #Cf. Exercice 4.4

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Toutes les normes sont équivalentes donc tous les ouverts pour une distance sont des ouverts pour toutes les autres distances #Ce n'est plus le cas pour l'infini

#Toutes les normes sont équivalentes donc tous les ouverts pour une distance sont des ouverts pour toutes les autres distances #Ce n'est plus le cas pour l'infini

#Dans l'espace vectoriel normé, on parle d'espace vectoriel alors que dans l'espace métrique, l'ensemble n'est pas forcément l'espace vectoriel (on a agrandi le champ d'application)

#Dans l'espace vectoriel normé, on parle d'espace vectoriel alors que dans l'espace métrique, l'ensemble n'est pas forcément l'espace vectoriel (on a agrandi le champ d'application)

#La topologie d'un espace métrique, c'est l'ensemble T des ouverts de X

#La topologie d'un espace métrique, c'est l'ensemble T des ouverts de X

#Sous-espace métrique #Trace des ouverts

#Sous-espace métrique #Trace des ouverts

#Trace des fermés

#Trace des fermés

#Traces des ouverts #Trace des fermés #Exercice

#Traces des ouverts #Trace des fermés #Exercice

#Boules ouvertes

#Boules ouvertes

#Montrer qu'une boule n'est pas ouverte

#Montrer qu'une boule n'est pas ouverte

#Toute boule ouverte est un ouvert de E

#Toute boule ouverte est un ouvert de E

#Un ensemble est ouvert si quelque soit l'élément à l'intérieur de cet ensemble, on peut l'entourer d'une petite boule aussi petite quelle soit en s'assurant que cette boule est totalement incluse dans cet ensemble là

#Un ensemble est ouvert si quelque soit l'élément à l'intérieur de cet ensemble, on peut l'entourer d'une petite boule aussi petite quelle soit en s'assurant que cette boule est totalement incluse dans cet ensemble là

#Boule ouverte #Intervalle ouvert #x peut être bien être un irrationnel (logique mais utile de rappeler)

#Boule ouverte #Intervalle ouvert #x peut être bien être un irrationnel (logique mais utile de rappeler)

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
F fermé ⇔ E\F ouvert

F fermé ⇔ E\F ouvert

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Quelques exemples d'ouverts dans ℝ²

#Fermé #Définition

#Fermé #Définition

#Distance de x à A #Diamètre de A

#Distance de x à A #Diamètre de A

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Espace métrique #Topologie induite

#Espace métrique #Topologie induite

#Suite extraite #Valeur d'adhérence

#Suite extraite #Valeur d'adhérence

#Suite extraite #Valeur d'adhérence #Limites de suites extraites

#Suite extraite #Valeur d'adhérence #Limites de suites extraites

#E et ∅ sont des ouverts #Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert #Une intersection finie d'ouverts est un ouvert

#E et ∅ sont des ouverts #Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert #Une intersection finie d'ouverts est un ouvert

#E et ∅ sont des fermés #Une réunion finie de fermés est un fermé #Une intersection quelconque de fermés est un fermé

#E et ∅ sont des fermés #Une réunion finie de fermés est un fermé #Une intersection quelconque de fermés est un fermé

#Singleton fermé #Espace métrique #Dans certains cas, il peut très bien être ouvert (par exemple dans la topologie discrète)

#Singleton fermé #Espace métrique #Dans certains cas, il peut très bien être ouvert (par exemple dans la topologie discrète)

#Topologie discrète #Singleton ouvert/fermé

#Topologie discrète #Singleton ouvert/fermé

#Prouver que F est un fermé ou qu'il n'est pas fermé (utilisation d'un contre-exemple) #Toute suite convergente d'éléments de F a sa limite dans F

#Prouver que F est un fermé ou qu'il n'est pas fermé (utilisation d'un contre-exemple) #Toute suite convergente d'éléments de F a sa limite dans F

#Il faut que la limite appartienne à l'ensemble et dans les deux sens #Important

#Il faut que la limite appartienne à l'ensemble et dans les deux sens #Important

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Soit E un K-espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est un fermé #En topologie c'est soit K ⊂ ℝ ou soit K ⊂ ℂ (pas les deux en même temps)

#Soit E un K-espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est un fermé #En topologie c'est soit K ⊂ ℝ ou soit K ⊂ ℂ (pas les deux en même temps)

#Intérieur #Adhérence #Frontière #L'adhérence de la boule ouverte b(a,r)  est la boule fermée ƀ(a,r) #L'intérieur de la boule fermée ƀ(a,r)  est la boule ouverte  b(a,r) #La frontière de la boule ouverte b(a,r)  est la sphère  s(a,r)

#Intérieur #Adhérence #Frontière #L'adhérence de la boule ouverte b(a,r) est la boule fermée ƀ(a,r) #L'intérieur de la boule fermée ƀ(a,r) est la boule ouverte b(a,r) #La frontière de la boule ouverte b(a,r) est la sphère s(a,r)

#Densité #Dense #Propriété

#Densité #Dense #Propriété

#Densité #Propriété

#Densité #Propriété

#Densité #Propriété

#Densité #Propriété

#Densité #ℚ dense dans ℝ  #ℝ\ℚ dense dans ℝ

#Densité #ℚ dense dans ℝ #ℝ\ℚ dense dans ℝ

#Densité #ℚ dense dans ℝ #ℝ\ℚ dense dans ℝ #Démonstration #Source : Øljen - Les maths en finesse

#Point adhérent et adhérence

#Point adhérent et adhérence

#Point frontière et frontière #x est un point frontière de A si tout voisinage de X rencontre à la fois A  et le complémentaire de A

#Point frontière et frontière #x est un point frontière de A si tout voisinage de X rencontre à la fois A et le complémentaire de A

#Point frontière et frontière

#Point frontière et frontière

#Frontière #Propriétés #C\Fr(E)=Fr(E)=Fr(E\C)

#Frontière #Propriétés #C\Fr(E)=Fr(E)=Fr(E\C)

#Frontière #Propriétés

#Frontière #Propriétés

#Frontière #Propriétés

#Frontière #Propriétés

#Le complémentaire d'une adhérence est l'intérieur du complémentaire

#Le complémentaire d'une adhérence est l'intérieur du complémentaire

#Rappel #Lois de Morgan

#Rappel #Lois de Morgan

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Intérieur ⇔ "Le plus grand ouvert contenu dans A" #Notation Å=int(A)

#Intérieur ⇔ "Le plus grand ouvert contenu dans A" #Notation Å=int(A)

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Tout singleton est d'intérieur vide #Q est d'intérieur vide

#Tout singleton est d'intérieur vide #Q est d'intérieur vide

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Adhérence ⇔ "Le plus petit fermé contenant A"

#Adhérence ⇔ "Le plus petit fermé contenant A"

#Adhérence #Voisinage #Propriété

#Adhérence #Voisinage #Propriété

#Si O est un ouvert, il appartient automatiquement au voisinage de x

#Si O est un ouvert, il appartient automatiquement au voisinage de x

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Explication pour l'adhérence de ]3,4[∩ℚ (pourquoi par exemple π nombre irrationnel "survit" à l'intersection? ) #N'importe quel nombre réel est limite d'une suite de rationnels (par exemple son développement décimal) #Par exemple π est limite de rationnels, donc il est bien dans l'adhérence #Consulter la propriété ci-dessus avec les limites pour comprendre

#Explication pour l'adhérence de ]3,4[∩ℚ (pourquoi par exemple π nombre irrationnel "survit" à l'intersection? ) #N'importe quel nombre réel est limite d'une suite de rationnels (par exemple son développement décimal) #Par exemple π est limite de rationnels, donc il est bien dans l'adhérence #Consulter la propriété ci-dessus avec les limites pour comprendre

#Négation de l'adhérence #Très utile

#Négation de l'adhérence #Très utile

#Adhérence #Intérieur #Propriétés #Pour la distance, un simple schéma rend la notion limpide

#Adhérence #Intérieur #Propriétés #Pour la distance, un simple schéma rend la notion limpide

#Adhérence #Intérieur

#Adhérence #Intérieur

#Adhérence #Propriétés

#Adhérence #Propriétés

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#L'adhérence de ∅ est égal à lui même (logique: ∅ est fermé donc son adhérence est fermée) #Dans un espace séparé, l'adhérence d'un singleton est bien lui-même, puisqu'il est fermé

#L'adhérence de ∅ est égal à lui même (logique: ∅ est fermé donc son adhérence est fermée) #Dans un espace séparé, l'adhérence d'un singleton est bien lui-même, puisqu'il est fermé

#L'adhérence d'un ensemble A est l'intersection des voisinages de Vr(A) et de A

#L'adhérence d'un ensemble A est l'intersection des voisinages de Vr(A) et de A

#Union/Intersection #Adhérence #Espace topologique

#Union/Intersection #Adhérence #Espace topologique

#Fr(A)=Fr(E\A)

#Fr(A)=Fr(E\A)

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Frontière #Propriétés #Fr(A)=Fr(E\A)

#Frontière #Propriétés #Fr(A)=Fr(E\A)

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Intersection et adhérence #Intersection et intérieur

#Intersection et adhérence #Intersection et intérieur

#Rappel basique mais ultra pratique dans les démonstrations

#Rappel basique mais ultra pratique dans les démonstrations

#Le complémentaire d'un intérieur est l'adhérence du complémentaire

#Le complémentaire d'un intérieur est l'adhérence du complémentaire

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#f est continue #L'image réciproque d'un ouvert de F par f est un ouvert de E #L'image réciproque d'un fermé de F par f est un fermé de E

#f est continue #L'image réciproque d'un ouvert de F par f est un ouvert de E #L'image réciproque d'un fermé de F par f est un fermé de E

#f est continue #Voisinage #Image réciproque

#f est continue #Voisinage #Image réciproque

#f est continue #Voisinage #Image réciproque

#f est continue #Voisinage #Image réciproque

#L'image réciproque d'un ouvert de F par f est un ouvert de E

#L'image réciproque d'un ouvert de F par f est un ouvert de E

#L'image réciproque d'un fermé de F par f est un fermé de E

#L'image réciproque d'un fermé de F par f est un fermé de E

#Applications lipschitziennes #Applications k-lipschitziennes #D'ailleurs pour prouver qu'une application est continue,, on peut montrer qu'elle est lipschitzienne

#Applications lipschitziennes #Applications k-lipschitziennes #D'ailleurs pour prouver qu'une application est continue,, on peut montrer qu'elle est lipschitzienne

#Applications lipschitziennes

#Applications lipschitziennes

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Normes équivalentes

#Normes équivalentes

#Continuité des applications linéaires

#Continuité des applications linéaires

#Norme subordonnée

#Norme subordonnée

#Norme subordonnée

#Norme subordonnée

#Norme d'algèbre

#Norme d'algèbre

#Espace topologique #Un espace topologique est un couple (E,T) #Tous les éléments qui appartiennent à T sont ouverts (reste à élucider la nature des éléments de E)

#Espace topologique #Un espace topologique est un couple (E,T) #Tous les éléments qui appartiennent à T sont ouverts (reste à élucider la nature des éléments de E)

#Distinction entre espace topologique et espace métrique

#Distinction entre espace topologique et espace métrique

#Espace topologique #Topologie induite

#Espace topologique #Topologie induite

#Voisinage #Définition

#Voisinage #Définition

#Voisinage #Propriété #Autrement dit, U est ouvert lorsque, pour tout  x∈U, il existe  r>0  tel que  B(x,r)⊂U #Si on montre ∀x∈U,∃V∈V(x),V⊂U alors ∀x∈U, U∈V(x) alors U est un ouvert (cf. exercice 7.9)

#Voisinage #Propriété #Autrement dit, U est ouvert lorsque, pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U #Si on montre ∀x∈U,∃V∈V(x),V⊂U alors ∀x∈U, U∈V(x) alors U est un ouvert (cf. exercice 7.9)

#Une intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x #Une réunion quelconque de voisinages de x est un voisinage de x, alors qu'une intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x (valable dans les espaces métriques comme dans les espaces topologiques)

#Une intersection de deux voisinages de x est un voisinage de x #Une réunion quelconque de voisinages de x est un voisinage de x, alors qu'une intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x (valable dans les espaces métriques comme dans les espaces topologiques)

 #Intérieur #Voisinage #Lien

#Intérieur #Voisinage #Lien

#Base de voisinages #Espace métrique #Espace topologique

#Base de voisinages #Espace métrique #Espace topologique

#Base de voisinages #Rayon irrationnel

#Base de voisinages #Rayon irrationnel

#Espace séparé #Pour l'espace métrique, la séparation est déjà vérifiée !

#Espace séparé #Pour l'espace métrique, la séparation est déjà vérifiée !

#Séparé #Espace de Hausdorff

#Séparé #Espace de Hausdorff

#Point isolé #Il existe une petite boule autour x dont l'intersection est réduite au singleton {x}

#Point isolé #Il existe une petite boule autour x dont l'intersection est réduite au singleton {x}

#Partie discrète #Point isolé #Un ensemble est est discret s'il n'est constitué que de points isolés

#Partie discrète #Point isolé #Un ensemble est est discret s'il n'est constitué que de points isolés

#Point isolé #Topologie induite #Avec O un ouvert (dans la définition)

#Point isolé #Topologie induite #Avec O un ouvert (dans la définition)

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Topologie discrète #Tout sous-ensemble de X est un ouvert/fermé #Cours

#Topologie discrète #Tout sous-ensemble de X est un ouvert/fermé #Cours

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Topologie grossière #Topologie discrète

#Topologie plus fine/moins fine #T plus fine que U signifie que T contient plus d'ouverts que U #Si T=U ⇔ U est plus fine que T et T est plus fine que U

#Topologie plus fine/moins fine #T plus fine que U signifie que T contient plus d'ouverts que U #Si T=U ⇔ U est plus fine que T et T est plus fine que U

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Montrer qu'un ensemble est fermé #Montrer qu'un ensemble est ouvert #Méthodes

#Montrer qu'un ensemble est fermé #Montrer qu'un ensemble est ouvert #Méthodes

#Montrer qu'un ensemble n'est pas fermé #Montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert #Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide ( Si on démontre que ∀r>0 B(f,r) ⊄X alors X est d'intérieur vide (la preuve qu'il n'y a aucun ouvert inclus dedans)) #Rappel basique pour la méthode de l'intérieur vide (tendre vers x ne signifie absolument pas égal à x) #Méthodes

#Montrer qu'un ensemble n'est pas fermé #Montrer qu'un ensemble n'est pas ouvert #Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide ( Si on démontre que ∀r>0 B(f,r) ⊄X alors X est d'intérieur vide (la preuve qu'il n'y a aucun ouvert inclus dedans)) #Rappel basique pour la méthode de l'intérieur vide (tendre vers x ne signifie absolument pas égal à x) #Méthodes

#Montrer qu'un intérieur est vide #Très bon exemple de la méthode

#Montrer qu'un intérieur est vide #Très bon exemple de la méthode

#Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide #Intérieur vide (cela signifie qu'il ne contient aucun ouvert)

#Montrer que l'intérieur d'un ensemble est vide #Intérieur vide (cela signifie qu'il ne contient aucun ouvert)

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
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TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#Homéomorphisme #Propriété

#Homéomorphisme #Propriété

Homéomorphisme #Propriété

Homéomorphisme #Propriété

Homéomorphisme #Propriété

Homéomorphisme #Propriété

#Parties homéomorphes

#Parties homéomorphes

#Connexité #Connexe

#Connexité #Connexe

#Parties connexes #Montrer que l'ensemble n'est pas connexe

#Parties connexes #Montrer que l'ensemble n'est pas connexe

#Montrer que l'ensemble n'est pas connexe

#Montrer que l'ensemble n'est pas connexe

#ℕ est non-connexe #ℝ est connexe #ℝ* est non-connexe #ℂ* est connexe #Pour ℝ*, si 'l'on trace une droite graduée, il manque forcément un morceau contrairement à ℂ* où l'on peut trouver un chemin continu sans passer par zéro (connexe par arcs donc connexe)

#ℕ est non-connexe #ℝ est connexe #ℝ* est non-connexe #ℂ* est connexe #Pour ℝ*, si 'l'on trace une droite graduée, il manque forcément un morceau contrairement à ℂ* où l'on peut trouver un chemin continu sans passer par zéro (connexe par arcs donc connexe)

TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours
#A connexe ⇒ f(A) connexe si f est continue

#A connexe ⇒ f(A) connexe si f est continue

#Théorème du graphe ferme #Un graphe est connexe si et seulement s'il admet une unique composante connexe

#Théorème du graphe ferme #Un graphe est connexe si et seulement s'il admet une unique composante connexe

#Connexité par arcs #Connexe par arcs #Existence d'un chemin continu #p(0) est l'origine de l'arc et p(1) son extrémité

#Connexité par arcs #Connexe par arcs #Existence d'un chemin continu #p(0) est l'origine de l'arc et p(1) son extrémité

#Connexité par arcs #Connexe par arcs #Existence d'un chemin continu

#Connexité par arcs #Connexe par arcs #Existence d'un chemin continu

#Si A est connexe par arcs alors A est connexe #Un K-espace vectoriel normé est toujours connexe

#Si A est connexe par arcs alors A est connexe #Un K-espace vectoriel normé est toujours connexe

#Groupe linéaire #Groupe spécial linéaire #Connexité

#Groupe linéaire #Groupe spécial linéaire #Connexité

#Si A est une partie connexe de E alors son adhérence A est connexe car plus généralement, toute partie B de E telle que A ⊂ B ⊂ Ā est connexe

#Si A est une partie connexe de E alors son adhérence A est connexe car plus généralement, toute partie B de E telle que A ⊂ B ⊂ Ā est connexe

#Rappel sur les ensembles convexes #Un espace vectoriel normé est convexe donc connexe par arcs donc connexe

#Rappel sur les ensembles convexes #Un espace vectoriel normé est convexe donc connexe par arcs donc connexe

#Rappel sur les ensembles convexes #Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est convexe #Toute boule (ouverte ou fermée) d'un espace vectoriel normé est convexe #Les parties convexes de ℝ sont des intervalles

#Rappel sur les ensembles convexes #Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est convexe #Toute boule (ouverte ou fermée) d'un espace vectoriel normé est convexe #Les parties convexes de ℝ sont des intervalles

#Ensemble étoilé #Un ouvert étoilé est un ouvert tel que l'on ait un point où on pourra accéder à tous les autres points en ligne droite sans sortir de l'ensemble #ℝ² ou ℝ³ sont par exemple, des ouverts étoilés

#Ensemble étoilé #Un ouvert étoilé est un ouvert tel que l'on ait un point où on pourra accéder à tous les autres points en ligne droite sans sortir de l'ensemble #ℝ² ou ℝ³ sont par exemple, des ouverts étoilés

#Ensemble convexe/ensemble étoilé ⇒ Connexe par arcs ⇒ Connexe #Normé subordonnée ⇒ Norme d'algèbre

#Ensemble convexe/ensemble étoilé ⇒ Connexe par arcs ⇒ Connexe #Normé subordonnée ⇒ Norme d'algèbre

#Composantes connexes #Propriété

#Composantes connexes #Propriété

#On prend la réunion de tous les connexes de A (partie jaune, partie rose, partie bleue etc) qui contiennent x et on appelle cela la composante connexe de x

#On prend la réunion de tous les connexes de A (partie jaune, partie rose, partie bleue etc) qui contiennent x et on appelle cela la composante connexe de x

#Exemple d'un espace métrique (E,d) connnexe dont la boule ouverte de E n'est pas connexe #3 composantes connexes

#Exemple d'un espace métrique (E,d) connnexe dont la boule ouverte de E n'est pas connexe #3 composantes connexes

#Localement connexe

#Localement connexe

#Rappel #Sous-suite

#Rappel #Sous-suite

#Suites extraites #Théorème de Bolzano-Weierstrass

#Suites extraites #Théorème de Bolzano-Weierstrass

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Théorème de Bolzano-Weierstrass

#Théorème de Bolzano-Weierstrass

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Valeur d'adhérence #Propriété

#Théorème de Baire

#Théorème de Baire

#Excellente vidéo #Cours #ExpoMaths

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