applications lineaires, matrices et determinants

#Transformation #Composition

#Démonstrations #Translation #Homothétie #Rotation #Symétrie par rapport à un axe #Composition de deux symétries #Composition de deux rotations

#Symétrie orthogonale

#Antisymétrie (exemple avec trilinéarité): f(e1,e2,e3)=-f(e1,e3,e2)=f(e2,e3,e1) #Multilinéarité #Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique #le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou lignes) d'une matrice carrée

#Formes multilinéaires alternées

#Le déterminant est une forme bilinéaire alternée (det(u,u)=0) #Le produit scalaire n'est pas une forme bilinéaire alternée (<u,u>=||u||²≠0) #Exemple f(e1,e1,e2) s'annule

#Quand on multilinéarise on a n puissance n termes (mais avec les formes multilinéaire alternées, beaucoup sont éliminés) #Permutations paire/impaire

#Opérations élémentaires

#Développement par rapport à une ligne/colonne

#Mineurs #Cofacteurs #Comatrices

#Développement par rapport à une ligne ou une colonne

#Opérations élémentaires sur lignes et colonnes #Développement par rapport à une ligne ou une colonne #Utilisation de la multilinéarité (factorisation)

#Rappel #Déterminant de la matrice vide (elle possède 0 ligne et 0 colonne, par convention, son résultat vaut 1)