Cours particuliers de maths à Lille

#Si Bn=f(An) est une suite de Cauchy, alors ∂(f(Ap),f(Aq))<ε mais ∂(f(Ap),f(Aq))=d(Ap,Aq) donc d(Ap,Aq)<ε donc An est une suite de Cauchy

#Rappel basique

#Rappel: l'application isométrie est uniformément continue #Après on aurait pu dire que l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy et donc que f(l) ∈ f(A)

# Fn+1 ⊂ Fn (d'où le terme emboîté)

On choisit une suite de Cauchy et on prend la définition de l'ensemble des valeurs d'adhérence. Fn est un fermé (les adhérences sont des fermés) et est non vide (car il contient les termes de la suite). Par construction, Fn+1 sera toujours inclus dans Fn. Par la suite, on utilise la définition de la suite de Cauchy. Rappelons que le diamètre d'une distance est sa borne supérieure. Donc il existera forcément un N ∈ ℕ tel que le diamètre tendra vers 0 (cf. la définition de la suite de Cauchy). Les (Fn)n∈ ℕ sont des fermés donc leur limite ne sortiront pas de leur ensemble ainsi que celui de l'intersection finale.En poussant à l'infini, il arrivera donc forcément un moment où la distance entre deux limites tendra vers 0.On déduira alors l'unicité de la valeur d'adhérence dans l'intersection

#Démonstration du théorème des fermés emboîtés

#Rappel #Donc complet

#Rappel #Complet

#Rappel #Donc espace compact implique espace complet

#Rappel #Cours #L' ensemble des valeurs d'adhérences

#Explication et preuve que Fn+1 ⊂ Fn

#Rappelons que dans un EVN, toutes les normes sont équivalentes (on a choisi ici la norme infinie)

#Théorème du point fixe #Application rétractante

#Si l'espace entier est une réunion dénombrable de fermés, l'un au moins de ces fermés contient un ouvert (non vide) (Théorème de Baire iii) ) #Un sous-espace vectoriel strict est forcément d'intérieur vide dans un espace complet (donc dire F(N)⊂E et F(N)≠E est faux car F(N) contient un ouvert, donc par déduction F(N)=E) #Rappel: un ensemble d'intérieur vide ne contient aucun ouvert #Rappel: dans un EVN, tout singleton {x} est fermé

#Théorème de Baire (iii) #Rappel #Tout espace métrique complet est un espace de Baire

#Tout sous-espace vectoriel strict est d'intérieur vide #Démonstration #Rappel #On montre par contraction que x∈E