Cours particuliers de maths à Lille

#Pour le 1) le fait que l'on prouve que Ki est un fermé montre que l∈Ki et donc qu'il possède au moins une valeur d'adhérence (Ki est forcément fermé car une intersection infinie de fermé est un fermé). Ainsi tous les Ki (avec i∈I) sont des compacts. Pour le 2) Une suite possède un nombre fini ou infini de termes, alors que les sous-suites possèdent une infinité de termes

#Sous-suite #Une infinité de termes possibles

#On utilise la négation de la propriété de la convergence et on raisonne par contradiction

#Si f est k-lipschitzienne, alors elle est uniformément continue

#Continuité uniforme #Propriété

#Donc f([a,b]) est bien un compact de E

#Lien entre accroissements finis et fonction lipschitzienne

Pour le 3) par exemple: ([0,1]U[2,3])∩]-1,3/2[=[0,1] donc effectivement O reste bien un ouvert de E

#Pour le 2) forcément, quand on a un nombre fini d'éléments, on a un plus grand et un plus petit élément (cf. propriété sur l'ensemble des parties) #Donc effectivement, toute suite prendra une infinité de fois la même valeur d'adhérence (peut être même plusieurs) #Tout ensemble fini est compact #Tout espace métrique fini est compact

#Pour le 2) rappel basique

#Par contre, un ensemble compact et discret est évidemment est fini

#Rappel

#Rappel pour le 7) #Suite stationnaire #Les suites convergentes de l'ensemble discret sont les suites stationnaires #Donc si on prend une suite d'éléments distincts qui ne se stabilise jamais, et qui donc n'a aucune valeur d'adhérence (et donc qui ne possède pas de sous-suite convergente) alors on prouve sa non compacité (car toutes suites de l'espace doivent donner une sous-suite et ici ce n'est pas le cas)

#Théorème du point fixe