Cours particuliers de maths à Lille

#Expérience #Issues #Univers #Source: Yvan Monka

#Evènement #Evènements élémentaires

#Evènement élémentaire

#Evènement certain

#Equiprobabilité

#Evènements incompatibles

#Espérance #Variance #Ecart-type #L'écart-type, la variance mesurent la dispersion des Xi autour des X̅ #Si la variance est nulle, alors la variable aléatoire est constante

#Espérance linéaire #Espérance positive #Espérance croissante

#Formule de Köning-Huygens

#Inégalité de Bienaymé-Tchebychev #Inégalité de Markov #∀t>0

#Inégalité de Markov #∀a>0

#Inégalité de Markov #Démonstration #Cas discret

#Inégalité de Markov #Démonstration #Cas continu

#Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (PS: il est possible que le majorant soit ⩾1) #INTERPRETATION DANS UN EXERCICE : la probabilité que l'écart entre X et E(X) soit supérieure à α est majorée par M (soit σ²/ α²) #On passe facilement de l'inégalité de Markov vers celle de Bienaymé-Tchebychev en utilisant |X-E(X)|⩾a,puis en faisant Y=|X-E(X)|²⩾a² et sachant V(X)=E(X-E(X))²

#Inégalité de Bienaymé-Tchebychev #Inégalité de Markov #Il suffit de réaliser des simples schémas pour se rendre compte de la limpidité des propriétés

#k-liste #Arrangement #Permutation #Combinaison

#Univers image #X la variable aléatoire qui associe le numéro obtenu

#Système complet d'évènements

#Variable aléatoire

#Système complet d’événements associé à une variable aléatoire

#Probabilité sur un univers fini

#Probabilité uniforme #Evénements équiprobables

#Complémentaire et différence #Croissance #Formule du crible

#Distribution de probabilités #Détermination d’une probabilité sur les événements élémentaires

#Loi d'une variable aléatoire

#Loi uniforme #Loi de Bernoulli

#Définition implicite d’un espace probabilisé par la donnée d’une distribution de probabilités

#Probabilités conditionnelles

#Probabilités conditionnelles

#Probabilités conditionnelles #Indépendance

#Probabilités conditionnelles

#Probabilités conditionnelles #Arbre

#Probabilités conditionnelles #Notations

#Formule des probabilités totales

#Formule de Bayes

#Formule de Bayes

#Formule des probabilités composées #Lois conditionnelles d’une variable aléatoire

#Evénements indépendants #Par exemple: le tirage suivant n'est pas influencé par le précédent (il n'y a pas de "sachant que") #Deux évènements sont indépendants si la réalisation ou non de l'un des évènements n'a pas d'incidence sur la probabilité de réalisation de l'autre évènement

#Indépendance et complémentaires #Loi binomiale

#Variables aléatoires indépendantes

#Existence d’une famille finie de variables aléatoires indépendantes de lois prescrites #Lemme des coalitions

#Loi conjointe et lois marginales d’une famille de variables aléatoires

#Loi uniforme et produit cartésien

#Calcul des lois marginales à partir de la loi conjointe

#Sommes de variables aléatoires indépendantes de lois binomiales

#Loi binomiale #Un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves identiques de Bernoulli de même probabilité de succès p et indépendantes les unes des autres #Pour P(X=k), sur TI82/83(dans 2nde+distrib), taper binomFdp(n,p,k) #Pour P(≤k) sur TI82/83(dans 2nde+distrib), taper binomFrép(n,p,k) #Si je fais tendre k vers+∞, la loi binomiale tendra vers une loi de Poisson #( ) retranscrit le nombre de combinaisons (par exemple, si j'ai n branches similaires (peu importe le bon ordre) dans mon arbre de probabilité, la combinaison sera égale à n)

#Combinaison

#Toujours bon à savoir

#Combinaison #Loi binomiale

#Loi binomiale #Loi de Poisson #Loi normale #Calculatrice #Pour TI82: pdf devient Fdp, et cdf devient Frép #Si on cherche P(X⩾k),cela équivaut à 1-P(x<k) et à faire simplement 1-P(x≤k-1)

#Rappel

#Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson #La loi binomiale et la loi de Poisson donnent les mêmes probabilités au centième près #Pour une loi binomiale, l'univers image est fini #Pour une loi de Poisson, l'univers image est infini

#Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson #Démonstration

#Approximation de la loi binomiale par la loi normale #Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

#Loi de Poisson #On dit que X suit une loi de Poisson de paramètre λ, noté X~Pois(X) #Une variable aléatoire suit une loi de Poisson lorsque la probabilité d'une occurrence (apparition) est très faible. La loi de Poisson est aussi appelée la loi des évènements rares

#Loi de Poisson #Proportionnalité (Par exemple sur une route: si j'ai 4 voitures qui passent sur 120 secondes, j'aurai 2 voitures qui passent sur 60 secondes simplement) #Aussi par exemple sur une route : si j'ai une 1 voiture qui passe sur 60 secondes sur un intervalle de 40minutes, cette fréquence sera inchangée sur 60 minutes soit p=1/60)

#Stabilité de la loi de Poisson par la somme

#Table de la loi de Poisson

#Loi de Poisson #Exercice

#Loi de Poisson #Exercice

#Loi de Poisson #Exercice #Pour la réponse 4): E(Y)=E(4X)=4E(X)=4 car dans une note d'une page, X suit une loi de Poisson de paramètre 1 donc dans une note de 4 pages Y=4X

#Corrigés:1) P(X⩾1)=0,3324 avec X↝B(20;0.02) 2) P(X⩾3)=0.080301 avec Y↝P(1) #PS:Les notations ↝ ou ~ sont équivalentes

#Loi géométrique #Pour P(X=k), sur TI82/83(dans 2nde+distrib), taper géomtFdp(p,k) #Pour P(≤k) sur TI82/83(dans 2nde+distrib), taper géomtFrép(n,k)

#Loi géométrique #Espérance #Variance

#Loi géométrique #Espérance #Variance #Démonstrations

#Loi uniforme discrète

#Loi uniforme discrète #Exemple

#Loi uniforme continue ##Le caractère discret ne concerne qu'un ensemble {.,.,.} de points #Le caractère continu concerne des intervalles complets [.,.] (Comprendre cela à l'aide d'un simple schéma rend ces notions assez limpides) #Il paraît évident que P(X=k)=0, et dire que P(X⩽k) ou P(X<K) revient au même raisonnement (comme P(a⩽X⩽b)=P(a<X<b))

#Loi uniforme continue #Exemple

#Axiomatique de Kolmogorov

#Loi du zéro-un de Kolmogorov

#Inégalité maximale de Kolmogorov

#Loi des grands nombres

#Loi des grands nombres #Somme de variables aléatoires #Source: Yvan Monka

#Loi des grands nombres #Espérance et variance de combinaisons linéaires de variables aléatoires

#Loi des grands nombres #Application à la loi binomiale #Echantillon d'une loi de probabilité

#Loi de Bernoulli

#Loi des grands nombres #Echantillon de loi Bernoulli #Espérance,variance et écart-type de la loi binomiale

Loi des grands nombres #Moyenne d'un échantillon #Variable aléatoire moyenne

#Loi des grands nombres #Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (PS: il est possible que le majorant soit ⩾1) #Inégalité de concentration

#Loi des grands nombres #L'écart entre la moyenne et l'espérance sera donc très faible vu que la distance tendra vers 0 (Rappel: quand |x|⩾a, alors x⩾a ou x⩽-a (un simple schéma clarifie parfaitement la chose)) #Plus la taille de l'échantillon n sera grande, plus l'écart entre la moyenne et l'espérance sera faible. Plus la taille de l'échantillon n sera grande, plus le majorant se rapprochera de zéro

#Loi forte des grands nombres

#Variables aléatoires discrètes #Source: Bibm@th

#Variables aléatoires discrètes

#Variables aléatoires discrètes

#Variables aléatoires discrètes

#Variables aléatoires discrètes

#Variables aléatoires discrètes

#Variables aléatoires discrètes

#Variables aléatoires discrètes

#Variables aléatoires discrètes ##Variables aléatoires continues

#Variables aléatoires continues

#Variables aléatoires à densité

#Variables aléatoires à densité

#Variables aléatoires à densité

#Variables aléatoires à densité #Lois uniforme

#Variables aléatoires à densité #Lois exponentielles

#Variables aléatoires à densité #Lois normales

#Loi normale

#Loi normale #Plus la courbe est haute, plus l'écart type et la variance sont faibles #Plus la courbe est basse, moins l'écart type et la variance sont grands

#Loi normale #Calculatrice

#Loi normale

#Loi normale #Théorème de Moivre-Laplace

#Variables aléatoires à densité #Théorème de Moivre-Laplace

#Méthode des moindres carrés

#Remarque : si l'on s'attache aux CARRÉS des distances et non aux écarts eux-mêmes, c'est parce que cela permet des développements non vus sur cette page mais néanmoins indispensables (décomposition en variance expliquée et résiduelle et donc emploi du coefficient de détermination...)

#Méthode des moindres carrés #Démonstration

#Rappel pour les extremas

#Méthode des moindres carrés #Démonstration

#Méthode des moindres carrés #Démonstration

#Pour trouver la droite d'ajustement #TI82: stats puis 4:EffListe puis Entrer puis 2nde 1,2nde2 (=L1,L2) puis Entrer(si les listes sont anciennes).Ensuite, aller dans stats, 1:Edite (on rentre les deux colonnes). Après stats, puis -> vers CALC puis 4:RégLin(ax+b) #Régression linéaire

#Formule de la covariance

#Coefficient de corrélation linéaire #Une corrélation est considérée comme bonne pour |r|⩾0,8 (soit r≤-0.8 ou r⩾0,8)

#Covariance #Une corrélation est considérée comme bonne pour |r|⩾0,8 (soit r≤-0.8 ou r⩾0,8)

#Matrice de covariance

#On peut calculer tout cela avec sûreté avec OpenOffice ou Excel avec des tableaux précis qui donnent la Covariance,les Ecarts types de X et Y et ainsi le coefficient de Corrélation

#Covariance #Corrélation #L'interprétation du résultat de la covariance a ses limites (peu instructive sur la dépendance), c'est ici que la notion de corrélation intervient #Une corrélation est considérée comme bonne pour |r|⩾0,8 (soit r≤-0.8 ou r⩾0,8) #Si r=1 ou r=-1 on dit que la corrélation est parfaite # #Corrélation linéaire #Par exemple: on peut estimer qu'il y a une corrélation (dépendance) entre le poids et la taille #Ajustement affine (2 variables) #Ajustement exponentiel (3 variables) #Ajustement puissance (4 variables)

#Corrélation #En haut à droite, j'aurai (+)(+) puis (+)(+) etc, en bas à gauche j'aurai (-)(-) puis (-)(-) etc (pour aboutir à une grande somme positive). Même raisonnement en haut en gauche et en bas à droite (pour aboutir à une grande somme négative). Conclusion: la covariance sera de plus en plus grande et la corrélation sera plus forte #En haut à droite, j'aurai (+)(+) puis (+)(+) etc, en haut à gauche j'aurai (-)(+) puis (-)(+) etc (pour aboutir à une petite somme positive ou négative). Même raisonnement en bas à gauche et en bas à droite (pour aboutir à une petite somme positive ou négative). Conclusion: la covariance sera de plus en plus petite et la corrélation sera plus faible (on aurait pu citer également en haut à droite et en bas à droite ou en haut en gauche et bas en gauche)

#Corrélation #De toute manière dans certaines situations, intuitivement on peut se faire une idée rapidement sur la corrélation (si je trace y=3 ou x=7 par exemple, on voit très bien que x et y n'ont aucune influence l'un sur l'autre (cf second cas dans le commentaire de l'illustration exprimé au-dessus))

#Corrélation

#König-Huygens #Espérance #Variance #La pondération est équivalente (d'où 1/n)

#König-Huygens #Démonstration

#Ajustement linéaire #Ajustement puissance #Ajustement exponentiel #Ajustement logarithmique #Ajustement parabolique #Ajustement cubique

#Ajustement affine (appelé également ajustement linéaire) #G(X̄,Ȳ) #On trouve un lien entre x et y, donc forcément cela aboutit à une droite d'équation #On a Y=aX+b (1) et Ȳ=aX̅+b (2), donc au final Y-Ȳ=a(X-X̅) sachant G(X̅,Ȳ)

#Ajustement exponentiel #Ajustements non-linéaires (exponentiel,puissance,logarithmique)

#Ajustement exponentiel #Ajustement non-linéaire

#Ajustement puissance #Ajustement non-linéaire

#Ajustement puissance #Lire les variables du tableau (dans le bon ordre) comme étant x,y,t et z #Ajustement non-linéaire

#Ajustement logarithmique #Pour trouver a et b, utiliser la méthode des moindres carrés

#Ajustement logarithmique #Pour trouver a et b, utiliser la méthode des moindres carrés

#Ajustement logarithmique #Pour trouver a et b, utiliser la méthode des moindres carrés

#Ajustement parabolique

#Lois usuelles #Synthèse #Bernoulli #Binomiale #Uniforme #Géométrique #Poisson

Loi de Kolmogorov-Smirnov

Loi de Kolmogorov-Smirnov

#Table de la loi de Kolmogorov-Smirnov

#Table de la loi de Kolmogorov-Smirnov

#Boule ouverte #Boule fermée

#Ouvert

# Déterminer les courbes de niveau d’une fonction #Montrer qu’une fonction f(𝑥1,𝑥2…) a une limite en l’origine #Méthodes #Coordonnées polaires #Coordonnées sphériques

#Montrer qu’une fonction f(x,y) n’a pas de limite en un point

#Dérivée directionnelle

#Dérivées partielles #le symbole ∂ (de la dérivée partielle) se lit : "rond de" #Si une dérivée partielle vaut + ou - l'infini, elle n'existe pas #Au début, pour ne pas s'emmêler les pinceaux dans la dérivée partielle aux niveaux des variables, on peut remplacer le ou les variables muettes par des constantes différentes de zéro (bien sûr, on réinsère ensuite les variables substituées provisoirement sur la dérivée partielles finale)

#Calculer la dérivée partielle en un point

#Calculer la dérivée partielle en un point #Exemple

#Gradient

#Développement limité à l'ordre 1

#Plan tangent

#Equation du plan tangent

#Règle de la chaîne

#Extrema locaux

#Matrice hessienne #Cette matrice est toujours carrée #C'est une forme quadratique

#Matrice hessienne

#Matrice hessienne #Exemple

#Matrice hessienne #Exemple

#Extrema locaux #Points critiques (aussi appelés points singuliers/stationnaires) #PS pour l'étape 1 : on doit obtenir un système (avec ∂f/∂x=0 et ∂f/dy=0), ses solutions sont les points critiques #On dit extremum (au singulier) et extrema (au pluriel) #Pour une fonction à plusieurs variables réelles, un point stationnaire (critique) est un point où le gradient s'annule

#Extrema d'une fonction

#Point col=Point selle (c'est un minimum selon un point de vue mais un maximum selon un autre point de vue) #On peut l'assimiler en quelque sorte à une selle de cheval

#Fonction différentiable et différentielle #En un point #Sur un ouvert

#Différentielle

#Calculer une différentielle

#Différentiabilité #Démontrer qu'une fonction est différentiable ou non #Si une seule dérivée partielle n'existe pas, il n'y a pas besoin de se préoccuper de l'autre . C'est ainsi toute la fonction qui n'est pas différentiable en ce point (même raisonnement pour la continuité)

#Déterminer une matrice jacobienne

#Théorème de Schwarz #Fonctions différentiables

#Formes différentielles exactes et fermées

#Théorème de Poincaré

#Montrer qu'une forme différentielle est fermée #Utiliser le théorème de Poincaré #Forme différentielle exacte

#Exemple #Forme différentielle exacte #Trouver la fonction g #Réinjecter g dans les autres dérivées partielles pour trouver sa forme

#Exemple #Forme différentielle exacte #Trouver la fonction g #Réinjecter g dans les autres dérivées partielles pour trouver sa forme

#Etoilé #Un ouvert étoilé est un ouvert tel que l'on ait un point où on pourra accéder à tous les autres points en ligne droite sans sortir de l'ensemble #ℝ² ou ℝ³ sont par exemple, des ouverts étoilés

#Primitive

#Théorème Green-Riemann #Valable uniquement dans le sens antihoraire

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Equation cartésienne d'une ellipse

#Exercice #Théorème Green-Riemann #Enoncé

#Exercice #Théorème Green-Riemann #Corrigé

#Changement de variables dans une intégrale multiple #Intégration en coordonnées polaires #Intégration en coordonnées cylindriques #Intégration en coordonnées sphériques

#Rappel #Equation cartésienne cercle

#Déterminant Jacobien en coordonnées polaires

#Coordonnées cartésiennes #Coordonnées polaires

#dS=dxdy #dS=drdθ

#Exemple #Calcul de l'aire d'un domaine avec changement de variable #Coordonnées polaires #Jacobien # ∫∫dS = ∫∫rdrdθ

#Exemple #Calculer l'aire d'un domaine

#Exemple #Intégrale double sur un domaine défini par 3 droites #Pour la seconde ligne en bas, on effectue bien deux calculs successifs sur deux zones différentes

#Inégrale double #Produit de deux intégrales #Propriété #Utiliser une intégrale double pour déduire une intégrale simple

#Utiliser une intégrale double pour déduire une intégrale simple #Exemple

#Utiliser une intégrale double pour déduire une intégrale simple #Exemple #Résultat de l'exemple : I=rac(π) (détaillé en vidéo ci-dessous)

#Gradient #Divergence #Rotationnel #Laplacien #Coordonnées cartésiennes

#Divergence en coordonnées cartésiennes ##Divergence en coordonnées cylindriques #Opérateur nabla #Gradient

#Gradient en coordonnées cartésiennes/cylindriques/sphériques #Rotationnel en coordonnées cartésiennes/cylindriques/sphériques

#Laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes/cylindriques

#Laplacien vectoriel #Coordonnées cartésiennes

#Dérive d'un potentiel #Il faut montrer que div(vect(u))=0 et trouver le potentiel en primitivant ∂f/∂x (=1ère ligne vecteur u)), la suite de la technique est exactement la même que lorsqu'on intégre une forme différentielle exacte (cf dans le même article : #Réinjecter g dans les autres dérivées partielles pour trouver sa forme)

#Exemple #Dérive d'un potentiel

#Gradient #Divergence #Rotationnel #Laplacien #Coordonnées cylindriques

#Gradient #Divergence #Rotationnel #Laplacien #Coordonnées sphériques

#Théorème d'Ostrogradsky-Green (également appelé Théorème de la divergence) #Théorème de Stokes

#Circulation d'un champ de vecteurs

#Exemple #Circulation d'un champ de vecteurs #Faire une relation de Chasles, paramétrer et réaliser le produit scalaire

#Exemple #Circulation d'un champ de vecteurs #Produit scalaire #On raisonne exactement avec la même méthode pour calculer la circulation d'OJK #Dans ce genre d'exercice, il faut être très vigilant sur l'ordre des bornes

#Dérivées suivant un vecteur #Dérivées partielles

#Matrice jacobienne #Déterminant jacobien

#Théorème de Schwarz #Extrema #Minimum global #Minimum local #Point critique

#Vecteur gradient #Ligne de niveau

#Démontrer qu'une fonction est différentiable ou non

#Déterminer les extrema locaux

POUR LE 3) #Quel que soit l'élément de A, on peut trouver une boule ouverte incluse dans A #Comme toutes les parties sont ouvertes, par passage au complémentaire on peut prouver que toutes les parties sont aussi fermées

#Topologie discrète #Tout sous-ensemble de X est un ouvert/fermé #Cours

#Logique avec un schéma, int(A∩B) est la plus grande partie ouverte incluse dans A∩B, donc forcément int(A)∩in(B) est forcément inclus dedans

#Analyse #Synthèse

#Astuces #Par exemple, on peut transformer x en x/2 continuellement et créer une suite #On peut remplacer une fonction par une autre (exemple: f(x)=1-g(x)) #On peut également substituer y par x (exemple pour montrer qu'on a le droit de passer de y à x ou inversement sans restrictions). Le but est toujours d'essayer et de chercher. On obtient forcément des informations précieuses au final

#Utiliser la continuité #Théorème #Caractérisation séquentielle de la continuité #Utile par exemple pour prouver que f(x) est constante

#Equation fonctionnelle de Cauchy

#Equation fonctionnelle de Cauchy #Solutions

#Troncature et fonction partie entière #Utiliser une suite avec x ∈ ℚ pour prouver que x ∈ ℝ (Par exemple si x=π, u0=3 , u1=3,1 u2=3,14 u3=3,141 etc alors la limite de xn quand n→+∞ = π (on a alors prouvé que x ∈ ℝ)) #Développement décimal du nombre

#Troncature #Différence avec l'arrondi #Rappel

#Equation fonctionnelle de Cauchy #Enoncé

#Equation fonctionnelle de Cauchy #Corrigé

#Equation fonctionnelle de Jensen

#Logarithme décimal #Rappel