Cours particuliers de maths à Lille

#Archimédien

#Propriété d'Archimède #Propriété de la partie entière

# ℝ est archimédien #Démonstration

# ℝ est archimédien #Démonstration

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ #La densité de ℚ dans ℝ signifie simplement que dans n'importe quel intervalle non vide de ℝ et ne comportant pas un seul élement (donc au moins deux éléments), on peut trouver un rationnel (donc appartenant à ℚ)

#Autre démonstration #Densité de ℚ dans ℝ

#ESPACE PREHILBERTIEN REEL #Produit scalaire #Bilinéarité #Symétrie #Définie positive #Un espace préhilbertien réel de dimension finie est appelé un espace euclidien #Pour prouver la bilinéarité, la linéarité par rapport à une seule variable est suffisante si l'on a démontré la symétrie avant (il suffit de renverser le produit après la 1ère linéarité détectée pour s'en apercevoir)

#Produits scalaire canonique #Norme et distance associées à un produit scalaire #Espace préhilbertien réel

||f||=rac(<f,f>) #Espace préhilbertien réel

Rappels #Colinéarité #Déterminant de deux vecteurs

#Rappels #Produit scalaire #Dimension 2

#Produit scalaire #Propriétés #Commutatvité #Associativité #Distributivité

#Produit scalaire #Scalaire #Propriétés

#Exemple #Commutativité #Associativité #Distributivité

#Produit scalaire positif #Produit scalaire négatif

#Produits scalaires canoniques #Espace préhilbertien réel

#Produits scalaires canoniques #Espace préhilbertien réel

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Espace préhilbertien réel

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Espace préhilbertien réel

#Inégalité de Cauchy-Schwarz #Inégalité triangulaire norme et distance #Espace préhilbertien réel

#Norme euclidienne #Espace préhilbertien réel

#Inégalité triangulaire version norme #Espace préhilbertien réel

#Identités remarquables #Espace préhilbertien réel

#Idendités de polarisation #Espace préhilbertien réel

#Distance #Espace préhilbertien réel

#Espace préhilbertien réel

#Vecteurs orthogonaux #Espace préhilbertien réel

#ESPACE PREHILBERTIEN COMPLEXE

#Espace préhilbertien complexe #L'objet central d'un espace préhilbertien est ce qu'on appelle en général un produit scalaire. Il peut s'agir d'un produit scalaire euclidien lorsque l'on considère des espaces vectoriels sur le corps des nombres réels ou d'un produit scalaire hermitien dans le cas d'espaces vectoriels sur le corps des nombres complexes

#Produit hermitien #Définie positive #Sesquilinéaire #Hermitienne #Espace préhilbertien complexe

#Produit hermitien #Produit scalaire hermitien #Définie positive #Sesquilinéaire #Hermitienne #Une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans ℂ, linéaire selon l'une des variables et semi-linéaire par rapport à l'autre variable #Espace préhilbertien complexe

#Espace hermitien #Produit scalaire hermitien #Norme #Espace préhilbertien complexe

#Identités remarquables #Espace préhilbertien complexe

#Produits scalaires usuels #Espace préhilbertien complexe

#Inégalité Cauchy-Schwarz #Valable sur Espace préhilbertien complexe

#Espace préhilbertien complexe

#Gram-Schmdit #Différence par rapport à l'espace réel #Espace préhilbertien complexe

#Produit scalaire hermitien #Espace préhilbertien complexe

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Affixe #Milieu

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Conjugué

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Equation du second degré

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Module #Argument #Forme trigonométrique

#Rappels #Nombres complexes #Propriétés #Conjugué #Module

#On appelle points fixes ou points invariants les points qui respectent f(Ω)=Ω (on s'en peut s'en servir par exemple pour trouver l'affixe du centre) #C'est bien sûr valable dans ℝ aussi

#Isométrie #Toute isométrie continue est un isomorphisme

#Symétrie orthogonale d'axe (OI) #Symétrie orthogonale d'axe (OJ) #Symétrie centrale de centre O

#Symétrie orthogonale #Symétrie centrale #Translation #Homothétie #Rotation

#Symétrie par rapport à la droite passant par le point A (d'affixe a)

#Similitude directe

#Similitude indirecte #Symétrie

#Similitude directe

#Similitude directe

#Similitude directe ##Similitude indirecte #Différence

#Similitude #Définition

#Composition d'une rotation et d'une translation #Composition de deux rotations

#Matrices symétriques #Matrices antisymétriques #Matrices orthogonales

#Matrices symétriques

#Matrices symétriques

#Matrices symétriques

#Matrices symétriques #Diagonalisation de matrices symétriques réelles

#Matrices symétriques #Diagonalisation de matrices symétriques réelles #Donc la matrice de passage est composée des vecteurs de la B.O.N simplement etc

#Définie positive

#Produit vectoriel

#Produit vectoriel

#Famille orthogonale #Famille orthonormée (ou orthonormale)

#Algorithme Gram-Schmidt #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Application #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Application #Espace préhilbertien réel

#Algorithme Gram-Schmidt #Astuce

#Matrice orthogonale #Mt=M^(-1) #La matrice est orthogonale si et seulement si (e1,e2,e3...en) forment une base orthonormale #Le déterminant d'une matrice orthogonale est de carré 1, c'est-à-dire qu'il est égal à +1 ou –1 (la réciproque est trivialement fausse). Une matrice orthogonale est dite directe si son déterminant vaut +1 et indirecte s'il vaut –1

#Vecteurs orthogonaux #Famille orthogonale #Famille orthonormale #Espace préhilbertien réel

#Théorème de Pythagore #Espace préhilbertien réel

#Supplémentaire orthogonal #Espace préhilbertien réel

#Trouver une base orthogonale #Exemple #La base orthogonale n'a pas besoin nécessairement d'avoir les mêmes dimensions que la base d'origine

#Matrice de rotation #Anti-horaire #Horaire

#Cas où on connaît la matrice de rotation #Trouver l'axe et l'angle à partir de la matrice de rotation #L'axe est invariant (le vecteur u reste fixe malgré la matrice R)

#Cas où on connaît la matrice de rotation #Trouver l'axe et l'angle à partir de la matrice de rotation

#Cas où on connaît la matrice de rotation #Trouver l'axe et l'angle à partir de la matrice de rotation #Trouver le déterminant de la base #On aura bien sûr trouvé l'axe grâce au système linéaire Au=u

#Cas où l'on cherche la matrice de rotation (on connaît l'axe et l'angle) #Sens anti-horaire #Etape 2 #Après il suffit simplement de placer les 3 vecteurs dans la matrice M', la matrice de passage P étant les 3 vecteurs de la base orthonormée (e1,e2,e3) #Matrice de passage orthogonale

#Matrice de passage orthogonale

#Matrice de passage orthogonale

#Matrice de passage d'un changement de bases orthonormales

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #S²=I

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #Dimension 2 #Plan

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #C'est la symétrie par rapport à ker (s-IdE) parallèlement à ker(s+IdE)

#Une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image #La symétrie vectorielle est une application linéaire involutive : elle vérifie s²=id

#Symétrie (dans un espace vectoriel)

#Symétrie (dans un espace vectoriel) #Les valeurs propres possibles d'une symétrie sont -1 et 1 (il est donc aisé dans une matrice 2x2 de deviner la trace (somme des valeurs propres) qui vaut 0 et le déterminant (produit des valeurs propres) qui vaut -1) #s(x)=λ(x) donne s²(x)=λ²(x)=id donc λ={-1,1}

#Trouver matrice de symétrie/symétrie orthogonale #Méthode

#Trouver matrice de symétrie/symétrie orthogonale #Méthode #A la fin on peut vérifier S²=I

#Symétrie orthogonale (dans un espace vectoriel) #S²=I

#Projecteur/Projecteur orthogonal A²=A #Symétrie/Symétrie orthogonale A²=I

#Avec la matrice M #Avec M'=PMP(^-1) #Base adaptée

#Relations projecteurs/symétrie

#S=2P-I #Valable pour Symétrie/Projecteur et Symétrie orthogonale/Projecteur orthogonal

#Projecteur #C'est une application linéaire idempotente : elle vérifie p² = p #L'idempotence signifie qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois #L'application p est un endomorphisme, idempotent (p ∘ p = p), d'image im(p) = F et de noyau ker(p) = G. Cet endomorphisme est diagonalisable

#Projecteur #La projection sur im(p) parallèlement à ker(p)

#Trouver la matrice de projection/projection orthogonale #Méthode

#Trouver la matrice de projection/projection orthogonale #Méthode #A la fin on peut vérifier P²=P

#Distance à un sous-espace vectoriel en dimension finie

#Projecteur

#Projection orthogonale #Symétrie orthogonale

#La base de ker(p) est égale à la base orthogonale de im(p)

#Il donc très évident de déduire dans une matrice 2x2 que la trace (somme des valeurs propres) est 1 et que le déterminant (produit des valeurs propres) est 0 pour ainsi prouver la projection #Un tel raisonnement est limpide également pour trouver les valeurs propres d'une symétrie

#Trace d'une projection #Valeurs propres

#Projection orthogonale #Une projection pour laquelle les deux supplémentaires sont orthogonaux est appelée projection orthogonale #Symétrie orthogonale #Expression d'un projeté orthogonal dans une base orthonormale #Quand on a trouvé la matrice, on peut vérifier A²=A pour valider

#Prouver une matrice de projection orthogonale #ker(p) pourra servir de vecteur normal pour déterminer l'équation du plan de F par exemple

#Trouver la matrice de projection orthogonale avec x∈E dans la base canonique #Gram-Schmidt

#Distance à un plan

#Matrice de projection #M²=M (pour TOUTE matrice de projection (pas forcément orthogonale))

#Décomposition LU #Lower #Upper

#Décomposition LU #Lower #Upper

#Rappel #Déterminants #Propriétés

#Rappel #Trace #Propriétés #Linéarité de la trace Tr(αA)=αTr(A)

#Rappel #Trace #Propriétés

#Rappel #Trace #Propriétés

#Rappel #Transposée #Propriétés #Linéarité de la transposée (αA)t=α(A)t

#Produit de matrices #Appliquer f∘g (par exemple), c'est simplement multiplier les 2 matrices correspondantes dans le même ordre

<A,B>=Tr(tAB)

#Applications linéaires #Notation L(E,F) ( L(E) pour l'endomorphisme) #Notation (on peut noter aussi End(E,F) (End(E) pour l'endomorphisme) #Noyau #Image #Rappels

#Hyperplan #Rappel

#Prouver un endomorphisme

#Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire #La composée d'applications linéaires est linéaire #D'ailleurs une composée d'application bijective est bijective

#Rappel #Injectivité #Surjectivité #Bijectivité

#Application linéaire liée à une matrice

#Rappel #Rang

#Matrices #Bases #Rappel

#Matrice de passage

#Matrice de passage #Exemple #Dimension 2

#Matrices #Changement de base #Rappel #La notation par exemple de B-> B' est similaire à la notation B,B' (=ligne,colonne)

#Changement de Base #Exemple #Matrices semblables #Matrice trigonalisable #Pour une application polynomiale, si ma base (écrite verticalement) était (1,X,X²...X^n) (soit la base canonique) on poserait alors P(1),P(X),P(X²)...P(X^n) (écrite horizontalement) etc

#Matrices équivalentes #Deux matrices sont équivalentes si et seulement si on peut transformer l'une en l'autre à travers des opérations élémentaires de lignes et de colonnes #Deux matrices A et B sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la même application linéaire f: V -> W par rapport à deux couples (un pour A et un pour B) de bases (une base de V et une base de W) bien choisis

#Matrices semblables #Elles ne concernent que les matrices carrées # Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes #Toute matrice carrée est semblable à sa transposée #La similitude est une relation d'équivalence. Un moyen de déterminer si deux matrices sont semblables est de les réduire, c'est-à-dire de les ramener à une forme type : diagonale, forme réduite de Jordan...

#Différence matrice semblable et matrice équivalente #Deux matrices semblables sont équivalentes (ce n'est pas réciproque)

#Endomorphisme induit #Stable #La réduction d'endomorphisme a pour objectif d'exprimer des matrices et des endomorphismes sous une forme plus simple, par exemple pour faciliter les calculs

#Lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie, l'étude d'un endomorphisme se ramène immédiatement à celle de sa matrice par rapport à une base donnée. La matrice obtenue est une matrice carrée. Souvent, la même base de E est considérée au départ et à l'arrivée. Un endomorphisme donne une matrice carrée mais ce n'est pas réciproque (on peut très bien prendre par exemple une application linéaire ℝ² dans ℂ)

#Valeur propre #Vecteur propre #Spectre #Si Dim(ker(f))⩾1 alors 0 est valeur propre #Les sous-espaces propres associés sont en somme directe

#Trouver vecteurs propres #Matrice de passage #Base de vecteurs propres

#Trouver vecteurs propres #Matrice de passage #Base de vecteurs propres

#Trouver vecteurs propres #Matrice de passage #Base de vecteurs propres

#Spectre #Notation Spec(A)= {....;...etc}

#Astuce #Trouver valeur propre

#Sous-espace propre

#Trace de A #Déterminant de A #Valeurs propres #PS: pour la trace, il faut compter n fois la valeur propre si multiplicité=n

#Polynôme caractéristique #Multiplicité #Le polynôme caractéristique est unitaire #lettre χ pour le polynôme caractéristique (prononciation phonétique française "khi")

#Bon à savoir

#Méthode #Diagonalisation

#Trouver valeurs propres #Diagonalisation possible ou pas

#Trouver dimension des espaces propres

#La matrice carrée nulle est une matrice diagonale et diagonalisable

#Coefficients #Polynôme Caractéristique #Trace pour degré (n-1) #Déterminant pour degré 0 #Somme des mineurs principaux

#Explication développement explicite du déterminant #Coefficients du polynôme caractéristique

#Coefficients #Polynôme Caractéristique #Trace pour degré (n-1) #Déterminant pour degré 0 #Somme des mineurs principaux #Exemples avec ordre 2 et ordre 3

En somme χa(X)=X²-tr(A)X+det(A) pour le degré 2

#Polynôme scindé #Rappel

#Polynôme scindé #Rappel

#Polynôme annulateur #Polynôme minimal #Sp(A) ⊂ (Racines du Polynôme annulateur) #Le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur #Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique #Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont les mêmes facteurs irréductibles #Polynôme caractéristique et minimal ont les mêmes racines

#Trouver le polynôme minimal M(X) #Méthode avec le polynôme caractéristique (F(X) dans le premier cas) #Méthode avec le polynôme annulateur (F(X) dans le second cas ) #Cas qui fonctionne: lorsque l'on substitue X par la matrice dans le polynôme, on obtient la matrice nulle à la fin

#Théorème de Cayley-Hamiltonn

#Exercice typique #Trouver A puissance n #Utiliser Cayley-Hamilton #Exemple

#Exercice typique #Trouver A puissance n #Utiliser Cayley-Hamilton #Exemple

#Exercice typique #Trouver A puissance n #Utiliser Cayley-Hamilton #Exemple #On connait la propriété A= BQ + R avec deg(R)<deg(B). On utilise le polynôme annulateur pour déduire A puissance n par la suite (on devine les coefficients des degrés inférieurs ou égaux à R en utilisant les racine(s), en résolvant les équations ou en dérivant par exemple)

#Rappel

#Diagonalisable #n valeurs propres ⇒ diagonalisation possible (pas réciproque) #On peut mettre les valeurs propres dans l'ordre que l'on souhaite dans la matrice diagonale

#Diagonalisable #Au lieu de noter la matrice diagonale entièrement, on peut aussi l'écrire de la manière suivante : Diag(...,...,...) avec les valeurs propres à l'intérieur évidement #Notation Diag

#Théorème spectral #Matrice symétrique à coefficients réels #Diagonalisable

#Matrice diagonale #Récurrence #Rappel

#Théorème du rang #Rappel

#Rappel #Noyau #Rappel basique : une application avec Dim(ker(f))⩾1 n'est pas bijective #Ker provient de Kern, traduction de "noyau" en allemand

#Rappel : l'élément neutre est automatiquement ker(f) et fait toujours parti du noyau dans une application (mais si c'est la seule possibilité, alors Dim(ker(f))=0)) #Sachant que lorsqu'on cherche la dimension d'un espace propre avec X≠0, l'application n'est donc jamais bijective

#Rappel

#Trigonalisable #Si des racines réelles sont présentes dans le polynôme caractéristique, alors la matrice est trigonalisable

#Matrice nilpotente #Endomorphisme nilpotent #Toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle

#Endomorphisme nilpotent

#Endomorphisme nilpotent #Exemple

#Rappel #Notation polynomiale

#Polynôme d'endomorphisme #Définition

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Trace d'une matrice #Rappel

#Matrices semblables #Rappel

#Deux matrices équivalentes ne sont pas forcément semblables #Deux matrices semblables ont la même trace

#Rappel #Determinant d'une famille liée égal à 0

#Rappel

#Rappel #Prouver la liberté d'une famille nxn suffit pour la définir comme base

#Matrices triangulaires #Propriétés #Coefficients diagonaux non nuls donc matrice inversible

#Opérations élémentaires #Rappel

#Matrices équivalentes par lignes #Matrice échelonnée #Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot #Une matrice échelonnée réduite est la matrice échelonnée dont les pivots valent 1 et les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls #On peut transformer toute matrice en une matrice échelonnée en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes #Le rang de la matrice A est le nombre de lignes non nulles dans la matrice échelonnée associée à A

#Deux matrices l-équivalentes ont la même forme échelonnée réduite

#Condition inversibilité #Déterminant non nul #Bjectivité

#Prouver qu'une matrice est inversible #0 n'est pas valeur propre

#Prouver qu'une matrice est inversible #Une matrice carrée est inversible si son déterminant est non nul

#Comatrice #Rappel #Calculer l'inverse

#Technique #Comatrice #Matrice des mineurs

#Calculer une comatrice #Dimension3x3 #Méthode

#Calculer une comatrice 3x3 #Méthode

#Calculer une comatrice 3x3 #Méthode

#Calculer une comatrice 3x3 #Méthode

#Inversibilité matrice 2x2 #Technique Transposée Comatrice 2x2 (inverser a et d , et multiplier par (-1) b et c

#Méthode Gauss-Jordan #Calculer inverse matrice #Exemple

#Méthode Gauss-Jordan #Calculer inverse matrice #Exemple

#Méthode Gauss-Jordan #Calculer inverse matrice #Exemple

#Transposée #Rappel

#Règle de Sarrus #Utilisable uniquement pour les matrices 3x3

#Formule du binôme de Newton #On ne peut utiliser le binôme de Newton qu'avec seulement deux matrices commutatives #a ou b peuvent être la matrice nulle

#Toujours utile à savoir pour utiliser le binôme de Newton

#Rappel #Evident certes #Toujours bon à rappeler