TOPOLOGIE - Espaces métriques - Espaces vectoriels normés - Espaces topologiques - Cours - Partie II

# Hiérarchie des espaces mathématiques # Les espaces vectoriels normés sont un sur-ensemble des espaces à produit intérieur et un sous-ensemble des espaces métriques, qui sont à leur tour un sous-ensemble des espaces topologiques

#Compacité #Recouvrement #Sous-recouvrement fini #Borel-Lebesgue

#Compacité #Théorème de Borel-Lebesgue

#Compacité Tout ensemble fini est compact #Tout espace métrique fini est compact (forcément, quand on a un nombre fini d'éléments, on a un plus grand et un plus petit élément (cf. propriété sur l'ensemble des parties))

#Compacité #Rappel basique

#La topologie produit est la topologie la moins fine

#Topologie produit #Distance produit

#On dit qu'un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si toute union dénombrable de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide #Si l'espace entier est une réunion dénombrable de fermés, l'un au moins de ces fermés contient un ouvert (non vide)

#Théorème de Baire #Tout espace métrique complet est un espace de Baire

#Théorème des fermés emboîtés #Réciproque

#Suite de Cauchy

#Un espace métrique est complet ⇔ Toutes les suites de Cauchy de E convergent #Espace de Banach #Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque √2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite # Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet, et tout sous-espace complet d'un espace métrique (non nécessairement complet) est fermé

# L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy

#Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue

#Compacité #Rappel #Toute suite d'éléments de E admet au moins une valeur d'adhérence #Explication de l'implication entre compacité et complétude

#ℝ n'est pas compact puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée #ℝ est complet puisque toute partie non vide et majorée dans ℝ admet une borne supérieure

#Compacité et complétude #Compact donc complet #Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge

#Une intersection quelconque de parties complètes de E est complète #Une union finie de parties complètes de E est complète

#Montrer que l'espace est complet #Montrer que l'espace n'est pas complet #Un espace métrique est non complet si on trouve une suite de Cauchy qui ne converge pas

#Théorème du point fixe #Application contractante #On peut dire aussi que f est k-contractante #En fait, la fonction est lipschitzienne mais elle doit admettre k<1

#Isométrie #L'application ne change pas la distance #Elle est 1-lipschitzienne donc continue (et toujours uniformément continue)