POST BAC - Fonctions à deux variables - Cours

#Boule ouverte #Boule fermée

#Ouvert

# Déterminer les courbes de niveau d’une fonction #Montrer qu’une fonction f(𝑥1,𝑥2…) a une limite en l’origine #Méthodes #Coordonnées polaires #Coordonnées sphériques

#Montrer qu’une fonction f(x,y) n’a pas de limite en un point

#Dérivée directionnelle

#Dérivées partielles #le symbole ∂ (de la dérivée partielle) se lit : "rond de" #Si une dérivée partielle vaut + ou - l'infini, elle n'existe pas #Au début, pour ne pas s'emmêler les pinceaux dans la dérivée partielle aux niveaux des variables, on peut remplacer le ou les variables muettes par des constantes différentes de zéro (bien sûr, on réinsère ensuite les variables substituées provisoirement sur la dérivée partielles finale)

#Calculer la dérivée partielle en un point

#Calculer la dérivée partielle en un point #Exemple

#Gradient

#Développement limité à l'ordre 1

#Plan tangent

#Equation du plan tangent

#Règle de la chaîne

#Extrema locaux

#Matrice hessienne #Cette matrice est toujours carrée #C'est une forme quadratique

#Matrice hessienne

#Matrice hessienne #Exemple

#Matrice hessienne #Exemple

#Extrema locaux #Points critiques (aussi appelés points singuliers/stationnaires) #PS pour l'étape 1 : on doit obtenir un système (avec ∂f/∂x=0 et ∂f/dy=0), ses solutions sont les points critiques #On dit extremum (au singulier) et extrema (au pluriel) #Pour une fonction à plusieurs variables réelles, un point stationnaire (critique) est un point où le gradient s'annule

#Extrema d'une fonction

#Point col=Point selle (c'est un minimum selon un point de vue mais un maximum selon un autre point de vue) #On peut l'assimiler en quelque sorte à une selle de cheval

#Fonction différentiable et différentielle #En un point #Sur un ouvert

#Différentielle

#Calculer une différentielle

#Différentiabilité #Démontrer qu'une fonction est différentiable ou non #Si une seule dérivée partielle n'existe pas, il n'y a pas besoin de se préoccuper de l'autre . C'est ainsi toute la fonction qui n'est pas différentiable en ce point (même raisonnement pour la continuité)

#Déterminer une matrice jacobienne

#Théorème de Schwarz #Fonctions différentiables

#Formes différentielles exactes et fermées

#Théorème de Poincaré

#Montrer qu'une forme différentielle est fermée #Utiliser le théorème de Poincaré #Forme différentielle exacte

#Exemple #Forme différentielle exacte #Trouver la fonction g #Réinjecter g dans les autres dérivées partielles pour trouver sa forme

#Exemple #Forme différentielle exacte #Trouver la fonction g #Réinjecter g dans les autres dérivées partielles pour trouver sa forme

#Etoilé #Un ouvert étoilé est un ouvert tel que l'on ait un point où on pourra accéder à tous les autres points en ligne droite sans sortir de l'ensemble #ℝ² ou ℝ³ sont par exemple, des ouverts étoilés

#Primitive

#Théorème Green-Riemann #Valable uniquement dans le sens antihoraire

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Exemple #Théorème Green-Riemann

#Equation cartésienne d'une ellipse

#Exercice #Théorème Green-Riemann #Enoncé

#Exercice #Théorème Green-Riemann #Corrigé

#Changement de variables dans une intégrale multiple #Intégration en coordonnées polaires #Intégration en coordonnées cylindriques #Intégration en coordonnées sphériques

#Rappel #Equation cartésienne cercle

#Déterminant Jacobien en coordonnées polaires

#Coordonnées cartésiennes #Coordonnées polaires

#dS=dxdy #dS=drdθ

#Exemple #Calcul de l'aire d'un domaine avec changement de variable #Coordonnées polaires #Jacobien # ∫∫dS = ∫∫rdrdθ

#Exemple #Calculer l'aire d'un domaine

#Exemple #Intégrale double sur un domaine défini par 3 droites #Pour la seconde ligne en bas, on effectue bien deux calculs successifs sur deux zones différentes

#Inégrale double #Produit de deux intégrales #Propriété #Utiliser une intégrale double pour déduire une intégrale simple

#Utiliser une intégrale double pour déduire une intégrale simple #Exemple

#Utiliser une intégrale double pour déduire une intégrale simple #Exemple #Résultat de l'exemple : I=rac(π) (détaillé en vidéo ci-dessous)

#Gradient #Divergence #Rotationnel #Laplacien #Coordonnées cartésiennes

#Divergence en coordonnées cartésiennes ##Divergence en coordonnées cylindriques #Opérateur nabla #Gradient

#Gradient en coordonnées cartésiennes/cylindriques/sphériques #Rotationnel en coordonnées cartésiennes/cylindriques/sphériques

#Laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes/cylindriques

#Laplacien vectoriel #Coordonnées cartésiennes

#Dérive d'un potentiel #Il faut montrer que div(vect(u))=0 et trouver le potentiel en primitivant ∂f/∂x (=1ère ligne vecteur u)), la suite de la technique est exactement la même que lorsqu'on intégre une forme différentielle exacte (cf dans le même article : #Réinjecter g dans les autres dérivées partielles pour trouver sa forme)

#Exemple #Dérive d'un potentiel

#Gradient #Divergence #Rotationnel #Laplacien #Coordonnées cylindriques

#Gradient #Divergence #Rotationnel #Laplacien #Coordonnées sphériques

#Théorème d'Ostrogradsky-Green (également appelé Théorème de la divergence) #Théorème de Stokes

#Circulation d'un champ de vecteurs

#Exemple #Circulation d'un champ de vecteurs #Faire une relation de Chasles, paramétrer et réaliser le produit scalaire

#Exemple #Circulation d'un champ de vecteurs #Produit scalaire #On raisonne exactement avec la même méthode pour calculer la circulation d'OJK #Dans ce genre d'exercice, il faut être très vigilant sur l'ordre des bornes