POST BAC - Espaces vectoriels - Récapitulatif des formules et concepts à maîtriser

#Espaces vectoriels #Définition #L'espace vectoriel a toujours deux lois (la loi de composition interne : + et la loi de composition externe : *)

#Scalaires #Vecteurs #Corps Commutatif #K #Element neutre=vecteur nul #Si le symétrique n'appartient pas, ce n'est pas un espace vectoriel

#Valable pour les fonctions

#Valable pour les suites #On dit l'ensemble des applications de ℕ dans ℝ #Les suites arithmétiques sont des espaces vectoriels #Les suites géométriques et monotones ne sont pas des espaces vectoriels #Autre notation pour les suites réelles : ℝ puissance ℕ

#Valable pour les matrices #La notation Mn(ℝ) (avec n tout seul) désigne les matrices carrées

#Dimension #Matrices #n lignes et p colonnes

#Valable pour les polynômes #Notation ℝ[X] : on dit l'ensemble des polynômes à coefficients réels

#Dimension #Polynômes

#Sous-espace vectoriel #Définition #Le symétrique est déjà dans la propriété: λx + y, pas besoin de le vérifier

#Prouver SEV #Technique #Aussi montrer que l'ensemble est un sous-espace vectoriel engendré (Vect(...,..etc)) est également une possibilité de preuve

#Propriétés #Exercice intéressant en topologie à consulter qui utilise ces propriétés: Exercice 8.3

#Droite vectorielle #1 vecteur

#Plan vectoriel #2 vecteurs

#Pas SEV #Contre-exemple

Ici les termes utilisés sont vulgarisés pour comprendre clairement.PS: faire des schémas sert uniquement à éclaircir les concepts, mais ils ne servent plus à grand chose rapidement surtout quand le nombre de dimensions s'accroît vite

#Les espaces vectoriels engendrés peuvent aussi être représentés par des chevrons

#Dimension du vecteur #n-uplet #DIM(ℝ puissance n)=n #Il y a 2 types de dimensions à nuancer (la dimension pour un vecteur et la dimension d'une famille, d'un espace vectoriel engendré ou d'une base etc) #Les 2 ont toujours la même dimension dans une base.

#Bases canoniques #Polynômes #Familles de scalaires #Matrices #Canonique signifie la plus naturelle #On dit LA base canonique

#Combinaison linéaire #Définition

#Pivot de Gauss #Méthode #Attention multiplier par une ligne par 0 est interdit! (si par exemple je fais (2-a) multiplié par une ligne, a peut être égal à 2 et donc c'est une opération proscrite)

#Définition #Base #On ne dit jamais LA base, on dit UNE base #Toute base de ℝ² comporte 2 vecteurs, ni plus, ni moins etc (ℝ puissance n possède une base de Dimension n)

#Théorème de la base incomplète

#Théorème de la base incomplète #cf. Exercice #41

#Famille libre

#Famile libre #Exemple

#Linéairement dépendant/indépendant

#Sous-famille #Sur-famille

#Technique #Schéma #Famille libre #Famile liée

#Famille libre ou liée #Polynômes #Technique

#Prouver famille libre ou liée #Techniques #Fonctions #Suites

#Dimension carrée #Famille liée=déterminant nul #Famille libre=déterminant non nul

#Dimension carrée #Une seule condition suffit pour prouver la base

#Recherche #Base ou pas #Famille libre #Famille liée #On peut déduire que si la famille n'est pas génératrice, ce n'est pas une base

#Recherche #Base ou pas #Génératrice

#Théorème de la liberté #Base

# Hyperplan #Aucun lien avec le concept de plan

#Sous-espace vectoriel engendré par une partie #Vect(X) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant X

#Famille génératrice #Définition

#Différence #Famille libre #Famille génératrice #Générer/Génératrice la racine du mot est la même

#Génératrice #Libre #Base

#Exemple avec E+F #Exemple avec E+F #Opérations élémentaires sur une famille de vecteurs #Invariance par ajout #Invariance par multiplication

#Montrer qu'une famille est génératrice #On isole tous les coefficients : c'est bien la preuve que l'on peut trouver tous les points du plan avec cette méthode=Famille génératrice #x,y et z sont des nombres fixés (on peut les remplacer par n'importe quelles valeurs, ce ne sont pas eux les inconnues).

#Montrer qu'une famille est génératrice

#Montrer qu'une famille est génératrice

#Déterminant

#Cramer #Coefficients diagonaux non nuls #Système linéaire triangulaire #Famille libre #cf.article Formules de Cramer

#Sous-espace vectoriel engendré #Avec les vecteurs, on peut atteindre tous les points du plan #C'est l'infinité des combinaisons linéaires que l'on peut faire avec les vecteurs de la famille PS: Vect(...,...,...etc) est par nature un sous-espace vectoriel (libre ou pas) #On de parle n-uplets #On peut également noter Vectℝ(...) avec ℝ noté comme indice (dans un ℝ-espace vectoriel par exemple)

PS: Vect(...,...,...etc) est par nature un sous-espace vectoriel (libre ou pas) #En bas: ce ne sont pas les mêmes familles (à gauche c'est une famille de dimension n+1, à droite c'est une famille de dimension n) MAIS le SEV engendré des deux est le même.

#Distinction #Famille #Espace vectoriel engendré

#D'ailleurs l'espace vectoriel réduit au vecteur nul est de Dimension 0

#Colinéarité #Uniquement entre 2 vecteurs

#Opérations élémentaires sur une famille de vecteurs #Invariance par ajout #Invariance par multiplication

#Parfois même la plupart du temps!

#Montrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux

#L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel #Ils ont au minimum l'élément neutre en commun (un simple schéma est idéal pour comprendre cette évidence) #Rappel basique: l'élément neutre est un sous-espace vectoriel

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Déterminer base d'une intersection

#Somme directe #Supplémentaires #Notation avec accolades: très important #Lorsque je cherche F+G, je n'ai pas besoin nécessairement d'avoir 2 bases

#Différence #Somme directe #Supplémentaires

#Attention ! FUG ≠ F+G

#Précision de vocabulaire : Concaténer: Enchaîner, mettre bout à bout deux chaînes de caractères de manière à en former une troisième.

#Conseil #cf. Exercice #27

#Conseil

#Conseil

#Somme directe de deux sous-espaces vectoriels #Dimensions #Sous-espaces supplémentaires

#Sous espaces vectoriels #Sommes directes #Dimensions

#Dimension #Théorème du rang #Im(f) #ker(f) #Attention la formule de Grassmann ressemble au crible de Poincaré mais c'est deux concepts totalement différents!

#Produit vectoriel

#Produit vectoriel

#Inclusion stricte #Rappel #Vocabulaire à utiliser pour dire par exemple que ℝ est en inclusion stricte par rapport à ℝ² etc)