post-bac ( prepa)

Pour le 3) par exemple: ([0,1]U[2,3])∩]-1,3/2[=[0,1] donc effectivement O reste bien un ouvert de E

#Pour le 2) forcément, quand on a un nombre fini d'éléments, on a un plus grand et un plus petit élément (cf. propriété sur l'ensemble des parties) #Donc effectivement, toute suite prendra une infinité de fois la même valeur d'adhérence (peut être même plusieurs) #Tout ensemble fini est compact #Tout espace métrique fini est compact

#Pour le 2) rappel basique

#Par contre, un ensemble compact et discret est évidemment est fini

#Rappel

#Rappel pour le 7) #Suite stationnaire #Les suites convergentes de l'ensemble discret sont les suites stationnaires #Donc si on prend une suite d'éléments distincts qui ne se stabilise jamais, et qui donc n'a aucune valeur d'adhérence (et donc qui ne possède pas de sous-suite convergente) alors on prouve sa non compacité (car toutes suites de l'espace doivent donner une sous-suite et ici ce n'est pas le cas)

#Théorème du point fixe

#d est borné donc il atteint ses bornes #Donc la fonction est 2-lipschitzienne donc continue

#Distance produit #Propriété utilisée

#d(a,B)=inf{d(a,b); b∈B} #d(a,B) est continue donc c'est un compact

#On a eu d(a1,B)⩽ ||a1-b|| avant alors on peut dire qu'il existe une boule fermée Bf(a0,r) tel que d(a0,B)⩽ ||a0-b||=r #Lors de l'intersection de d(a0,B) avec B, il ne reste qu'un morceau K qui est inclus dans d(a0,B) qui est compact, et donc K qui est fermé (une intersection de fermés est un fermé) dans un compact est compact #On a vu dans le 1) que si A et B sont compacts alors il existe d(A,B)=d(a,b) donc si A et K sont compacts, il existe d(A,K)=d(a,b)=d(A,B) car K⊂B donc il existe forcément

# y-(1/x)⩽0 est bien fermé

#Projection orthogonale

#PS: 0E est exclu de l'application φ(x) bien sûr

#Projection orthogonale

#Si on prend un compact en dimension infinie, son complémentaire est toujours connexe, on peut toujours le contourner, il y a toujours une seule composante connexe. Il n'y a pas de composante connexe bornée donc donc il n'existe qu'une seule composante connexe.

#Rappel #Propriété du cours

#Rappel #1ère propriété

#Rappel

#La première propriété s'applique uniquement dans les espaces de dimensions finies

#Explicaton #Si la dimension est finie, le trou de K sera forcément une composante connexe bornée de E\K (intuitivement, ses dimensions seront toujours bloquées par le compact K). Par contre, en dimension infinie, on pourra toujours trouver un chemin pour éviter le compact K et sortir aussi loin que l'on veut (il suffit de schématiser l'exemple cité pour comprendre très facilement)