mpsi

#Assertion

#Prédicat

#Quantificateur universel #Quantificateur existentiel #Définition #∀ (for All/Alle(allemand)) signification : "quel que soit" (PS: "quel que" et pas "quelque") / "pour tout" #la virgule après un "pour tout" ne se cite pas pas à l'oral, par contre la virgule après un "il existe" est traduite par "tel que" #On ne peut pas mélanger mots et quantificateurs, soit on fait une phrase claire en français, soit on utilise tous les symboles adéquats

#Quantificateur universel #Quantificateur existentiel (signification du ∃: "il existe au moins" #Quantificateur ∃! : "il existe un unique"

PS: x est muette (on peut la changer par n'importe quelle autre lettre) #On peut trouver dans les énoncés ∃x∈A, ou ∃x∈A; ou ∃x∈A|

#Si dans un exercice, on traduit une phrase de propriété reconnue, évidemment que si notre proposition est fausse, il y a un souci dans la rédaction #On peut toujours vérifier la véracité de la rédaction.Si on trouve un contre-exemple, c'est que la rédaction n'est pas bonne (il faut alors revoir par exemple l'ordre des quantificateurs ou alors totalement remettre en question la phrase que l'on vient de rédiger)

#Connecteurs logiques #Tableau de vérité #Si l'Assertion est Vraie (Sa négation est Fausse) et inversement

#Tableau de vérité #Autres notations pour la négation= (¬) #Autres notations : (∧) = (ET) CONJONCTION / (v) = (OU) DISJONCTION / (⊕) = (Δ) DIFFERENCE SYMETRIQUE / (⇒) = (→) IMPLICATION /(⇔) = (≡) = (↔) EQUIVALENCE

#Implication #Preuve: Faux implique Faux est Vrai

#Implication #Contraposée #Equivalence #Du coup, lorsqu'on a une équivalence, on peut mélanger contraposée et réciproque

#Inclusion

#Différence #Disjonction exclusive et inclusive

#Equivalence=Réciprocité

#Lois de Morgan

#Lois de Morgan

#Lois de Morgan

#Lois de Morgan

#Lois de Morgan #Table de vérité

#Lois de Morgan #Table de vérité

#Négation d'une assertion

#Négation ∀ #Négation ∃

#Négation ∃! #Il faut bien citer les 2 cas

#Négation d'une implication

#Conseil #Utiliser la négation

#Aussi, il peut exister plusieurs assertions justes qui traduisent la même propriété (c'est possible même s'il émerge toujours au final la proposition la plus claire et la plus concise possible)

#Prouver une réciprocité #Equivalence=Réciproque #Preuve par double implication

#Contraposition #Dans une contraposée, les quantificateurs ne bougent pas et restent à gauche #D'ailleurs, au-delà de la contraposition, il n'y a jamais de quantificateurs à droite

#Disjonction des cas

#Implication

#Equivalence

Aussi : (P ⇔ Q) ⇔ (P⇒Q)∧(Q⇒P)

#Ordre des quantificateurs

#Différence #Supérieur #Strictement supérieur #Inférieur #Strictement inférieur

PS: j'aurai pu noter aussi ∀(x,x')∈ℝ² au début pour f croissante (on peut noter avec n-uplet aussi (ici c'est un couple))

#Exercice excellent #A savoir #Démonstration en dessous

#Rappel #Complémentaire d'un ensemble

#Exercice #A faire absolument pour bien réviser les concepts #Corrigé dans la section "Logique et raisonnements" Exercice #7

#Exercice #A faire absolument pour bien réviser les concepts #Corrigé dans la section "Logique et raisonnements" Exercice #10

#Contrapositon

#Raisonnement par l'absurde

#Récurrence

#Raisonnement par récurrence simple

#Raisonnement par récurrence double #Il faut penser à utiliser une récurrence double lorsque chaque terme de la suite dépend des 2 précédents

#Raisonnement par récurrence à pas multiples #Le pas pour la double est 2, le pas pour la triple est 3 etc...

#Raisonnement par récurrence forte #Dans une récurrence forte dans l'initialisation, on doit seulement montrer que P(n0) est vraie alors que dans la récurrence double, on doit montrer que P(n0) et P(n0+1) sont vrais.

#Rédaction #Raisonnement

#Poincaré #Citation

#A savoir #Raisonnement #Notation

#Syllogisme #Aristote

#Antinomie de Russell #Paradoxe de Russell

#Espace euclidien #Définition

#Produit scalaire #Dimension 2

#Produit scalaire #Dimension 3

#Forme bilinéaire

#Formule #Bilinéarité

#Inégalité Cauchy-Schwarz

#Définition #Norme

#Vecteur unitaire

#Espace vectoriel normé #EVN

#Inégalité Cauchy-Schwarz

#Inégalités de Minkowski

#Identités de polarisation

#Identité du parallélogramme

#Angle géométrique #Ecart angulaire