mathematiques

#On utilise la négation de la propriété de la convergence et on raisonne par contradiction

#Si f est k-lipschitzienne, alors elle est uniformément continue

#Continuité uniforme #Propriété

#Donc f([a,b]) est bien un compact de E

#Lien entre accroissements finis et fonction lipschitzienne

Pour le 3) par exemple: ([0,1]U[2,3])∩]-1,3/2[=[0,1] donc effectivement O reste bien un ouvert de E

#Pour le 2) forcément, quand on a un nombre fini d'éléments, on a un plus grand et un plus petit élément (cf. propriété sur l'ensemble des parties) #Donc effectivement, toute suite prendra une infinité de fois la même valeur d'adhérence (peut être même plusieurs) #Tout ensemble fini est compact #Tout espace métrique fini est compact

#Pour le 2) rappel basique

#Par contre, un ensemble compact et discret est évidemment est fini

#Rappel

#Rappel pour le 7) #Suite stationnaire #Les suites convergentes de l'ensemble discret sont les suites stationnaires #Donc si on prend une suite d'éléments distincts qui ne se stabilise jamais, et qui donc n'a aucune valeur d'adhérence (et donc qui ne possède pas de sous-suite convergente) alors on prouve sa non compacité (car toutes suites de l'espace doivent donner une sous-suite et ici ce n'est pas le cas)

#Théorème du point fixe

#d est borné donc il atteint ses bornes #Donc la fonction est 2-lipschitzienne donc continue

#Distance produit #Propriété utilisée

#d(a,B)=inf{d(a,b); b∈B} #d(a,B) est continue donc c'est un compact

#On a eu d(a1,B)⩽ ||a1-b|| avant alors on peut dire qu'il existe une boule fermée Bf(a0,r) tel que d(a0,B)⩽ ||a0-b||=r #Lors de l'intersection de d(a0,B) avec B, il ne reste qu'un morceau K qui est inclus dans d(a0,B) qui est compact, et donc K qui est fermé (une intersection de fermés est un fermé) dans un compact est compact #On a vu dans le 1) que si A et B sont compacts alors il existe d(A,B)=d(a,b) donc si A et K sont compacts, il existe d(A,K)=d(a,b)=d(A,B) car K⊂B donc il existe forcément

# y-(1/x)⩽0 est bien fermé