POST BAC - Réduction des endomorphismes - Cours

#Applications linéaires #Notation L(E,F) ( L(E) pour l'endomorphisme) #Notation (on peut noter aussi End(E,F) (End(E) pour l'endomorphisme) #Noyau #Image #Rappels

#Hyperplan #Rappel

#Prouver un endomorphisme

#Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire #La composée d'applications linéaires est linéaire #D'ailleurs une composée d'application bijective est bijective

#Rappel #Injectivité #Surjectivité #Bijectivité

#Application linéaire liée à une matrice

#Rappel #Rang

#Matrices #Bases #Rappel

#Matrice de passage

#Matrice de passage #Exemple #Dimension 2

#Matrices #Changement de base #Rappel #La notation par exemple de B-> B' est similaire à la notation B,B' (=ligne,colonne)

#Changement de Base #Exemple #Matrices semblables #Matrice trigonalisable #Pour une application polynomiale, si ma base (écrite verticalement) était (1,X,X²...X^n) (soit la base canonique) on poserait alors P(1),P(X),P(X²)...P(X^n) (écrite horizontalement) etc

#Matrices équivalentes #Deux matrices sont équivalentes si et seulement si on peut transformer l'une en l'autre à travers des opérations élémentaires de lignes et de colonnes #Deux matrices A et B sont équivalentes si et seulement si elles peuvent représenter la même application linéaire f: V -> W par rapport à deux couples (un pour A et un pour B) de bases (une base de V et une base de W) bien choisis

#Matrices semblables #Elles ne concernent que les matrices carrées # Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes #Toute matrice carrée est semblable à sa transposée #La similitude est une relation d'équivalence. Un moyen de déterminer si deux matrices sont semblables est de les réduire, c'est-à-dire de les ramener à une forme type : diagonale, forme réduite de Jordan...

#Différence matrice semblable et matrice équivalente #Deux matrices semblables sont équivalentes (ce n'est pas réciproque)

#Endomorphisme induit #Stable #La réduction d'endomorphisme a pour objectif d'exprimer des matrices et des endomorphismes sous une forme plus simple, par exemple pour faciliter les calculs

#Lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie, l'étude d'un endomorphisme se ramène immédiatement à celle de sa matrice par rapport à une base donnée. La matrice obtenue est une matrice carrée. Souvent, la même base de E est considérée au départ et à l'arrivée. Un endomorphisme donne une matrice carrée mais ce n'est pas réciproque (on peut très bien prendre par exemple une application linéaire ℝ² dans ℂ)

#Valeur propre #Vecteur propre #Spectre #Si Dim(ker(f))⩾1 alors 0 est valeur propre #Les sous-espaces propres associés sont en somme directe

#Trouver vecteurs propres #Matrice de passage #Base de vecteurs propres

#Trouver vecteurs propres #Matrice de passage #Base de vecteurs propres

#Trouver vecteurs propres #Matrice de passage #Base de vecteurs propres

#Spectre #Notation Spec(A)= {....;...etc}

#Astuce #Trouver valeur propre

#Sous-espace propre

#Trace de A #Déterminant de A #Valeurs propres #PS: pour la trace, il faut compter n fois la valeur propre si multiplicité=n

#Polynôme caractéristique #Multiplicité #Le polynôme caractéristique est unitaire #lettre χ pour le polynôme caractéristique (prononciation phonétique française "khi")

#Bon à savoir

#Méthode #Diagonalisation

#Trouver valeurs propres #Diagonalisation possible ou pas

#Trouver dimension des espaces propres

#La matrice carrée nulle est une matrice diagonale et diagonalisable

#Coefficients #Polynôme Caractéristique #Trace pour degré (n-1) #Déterminant pour degré 0 #Somme des mineurs principaux

#Explication développement explicite du déterminant #Coefficients du polynôme caractéristique

#Coefficients #Polynôme Caractéristique #Trace pour degré (n-1) #Déterminant pour degré 0 #Somme des mineurs principaux #Exemples avec ordre 2 et ordre 3

En somme χa(X)=X²-tr(A)X+det(A) pour le degré 2

#Polynôme scindé #Rappel

#Polynôme scindé #Rappel

#Polynôme annulateur #Polynôme minimal #Sp(A) ⊂ (Racines du Polynôme annulateur) #Le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur #Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique #Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont les mêmes facteurs irréductibles #Polynôme caractéristique et minimal ont les mêmes racines

#Trouver le polynôme minimal M(X) #Méthode avec le polynôme caractéristique (F(X) dans le premier cas) #Méthode avec le polynôme annulateur (F(X) dans le second cas ) #Cas qui fonctionne: lorsque l'on substitue X par la matrice dans le polynôme, on obtient la matrice nulle à la fin

#Théorème de Cayley-Hamiltonn

#Exercice typique #Trouver A puissance n #Utiliser Cayley-Hamilton #Exemple

#Exercice typique #Trouver A puissance n #Utiliser Cayley-Hamilton #Exemple

#Exercice typique #Trouver A puissance n #Utiliser Cayley-Hamilton #Exemple #On connait la propriété A= BQ + R avec deg(R)<deg(B). On utilise le polynôme annulateur pour déduire A puissance n par la suite (on devine les coefficients des degrés inférieurs ou égaux à R en utilisant les racine(s), en résolvant les équations ou en dérivant par exemple)

#Rappel

#Diagonalisable #n valeurs propres ⇒ diagonalisation possible (pas réciproque) #On peut mettre les valeurs propres dans l'ordre que l'on souhaite dans la matrice diagonale

#Diagonalisable #Au lieu de noter la matrice diagonale entièrement, on peut aussi l'écrire de la manière suivante : Diag(...,...,...) avec les valeurs propres à l'intérieur évidement #Notation Diag

#Théorème spectral #Matrice symétrique à coefficients réels #Diagonalisable

#Matrice diagonale #Récurrence #Rappel

#Théorème du rang #Rappel

#Rappel #Noyau #Rappel basique : une application avec Dim(ker(f))⩾1 n'est pas bijective #Ker provient de Kern, traduction de "noyau" en allemand

#Rappel : l'élément neutre est automatiquement ker(f) et fait toujours parti du noyau dans une application (mais si c'est la seule possibilité, alors Dim(ker(f))=0)) #Sachant que lorsqu'on cherche la dimension d'un espace propre avec X≠0, l'application n'est donc jamais bijective

#Rappel

#Trigonalisable #Si des racines réelles sont présentes dans le polynôme caractéristique, alors la matrice est trigonalisable

#Matrice nilpotente #Endomorphisme nilpotent #Toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle

#Endomorphisme nilpotent

#Endomorphisme nilpotent #Exemple

#Rappel #Notation polynomiale

#Polynôme d'endomorphisme #Définition

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Polynôme d'endomorphismes

#Trace d'une matrice #Rappel

#Matrices semblables #Rappel

#Deux matrices équivalentes ne sont pas forcément semblables #Deux matrices semblables ont la même trace

#Rappel #Determinant d'une famille liée égal à 0

#Rappel

#Rappel #Prouver la liberté d'une famille nxn suffit pour la définir comme base

#Matrices triangulaires #Propriétés #Coefficients diagonaux non nuls donc matrice inversible

#Opérations élémentaires #Rappel

#Matrices équivalentes par lignes #Matrice échelonnée #Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot #Une matrice échelonnée réduite est la matrice échelonnée dont les pivots valent 1 et les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls #On peut transformer toute matrice en une matrice échelonnée en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes #Le rang de la matrice A est le nombre de lignes non nulles dans la matrice échelonnée associée à A

#Deux matrices l-équivalentes ont la même forme échelonnée réduite

#Condition inversibilité #Déterminant non nul #Bjectivité

#Prouver qu'une matrice est inversible #0 n'est pas valeur propre

#Prouver qu'une matrice est inversible #Une matrice carrée est inversible si son déterminant est non nul

#Comatrice #Rappel #Calculer l'inverse

#Technique #Comatrice #Matrice des mineurs

#Calculer une comatrice #Dimension3x3 #Méthode

#Calculer une comatrice 3x3 #Méthode

#Calculer une comatrice 3x3 #Méthode

#Calculer une comatrice 3x3 #Méthode

#Inversibilité matrice 2x2 #Technique Transposée Comatrice 2x2 (inverser a et d , et multiplier par (-1) b et c

#Méthode Gauss-Jordan #Calculer inverse matrice #Exemple

#Méthode Gauss-Jordan #Calculer inverse matrice #Exemple

#Méthode Gauss-Jordan #Calculer inverse matrice #Exemple

#Transposée #Rappel

#Règle de Sarrus #Utilisable uniquement pour les matrices 3x3

#Formule du binôme de Newton #On ne peut utiliser le binôme de Newton qu'avec seulement deux matrices commutatives #a ou b peuvent être la matrice nulle

#Toujours utile à savoir pour utiliser le binôme de Newton

#Rappel #Evident certes #Toujours bon à rappeler