Pourquoi ne peut-on pas diviser par 0 ?

Concrètement, il est impossible de diviser un gâteau de 0 part: cette action n'a pas de sens (cela équivaut à ne rien faire).

Diviser un nombre A par un nombre B revient à chercher combien il y a de fois B dans A. Par exemple : 6/3=2 signifie que dans 6 il y a deux fois 3. Diviser A par 0 revient donc à chercher combien il y a de fois 0 dans A, c’est-à-dire combien il y a de fois rien dans A !

Sur un plan mathématique, avant de savoir pourquoi nous ne pouvons pas diviser par 0, il nous faut comprendre ce que signifie diviser par un nombre quelconque.

Ce que nous appelons en mathématiques le corps des nombres réels, est l’ensemble des nombres que nous connaissons tous, tel que 2, -3, 2/3, ?, dits réels, muni de deux lois, la loi d’addition, et la loi de multiplication, répondant à certaines propriétés caractéristiques d’un corps.

L’une de ces propriétés, dite de symétrie, est, pour tout nombre réel a, l’existence d’un inverse b, tel que a*b = 1, noté 1/a.

Ainsi, la division c/d s’interprète-t-elle comme la multiplication de c avec 1/d, c’est-à-dire l’inverse du nombre d.

Donc diviser par 0 reviendrait à multiplier par l’inverse de 0, c’est-à-dire le nombre e, tel que 0*e = 1. Or, quel que soit e, le résultat de la multiplication sera toujours égal à 0, et non à 1.

Par conséquent, l’inverse e du nombre zéro n’existe pas, et subséquemment, la division par 0 n’a aucun sens, étant équivalente à une multiplication par un nombre qui n’existe pas.